Question

9．如图所示，半径分别为R和r（R＞r）的甲乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内．两轨道之间由一光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上有一轻弹簧被a、b两个小球夹住，但不拴接．同时释放两小球，
（1）已知小球a的质量为m，若a、b球恰好能通过各自的圆轨道的最高点，求小球b的质量；
（2）若m_a=m_b=m，且要求a、b都还能够通过各自的最高点，则弹簧在释放前至少具有多犬的弹性势能？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律得出最高点的速度，根据机械能守恒定律列出等式求解
（2）由动量守恒定律得出速度关系，根据机械能守恒定律求解．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得a、b球恰好能通过各自的圆轨道的最高点的速度分别为：
v′_a=$\sqrt{gR}$…①
v′_b=$\sqrt{gr}$…②
由动量守恒定律mv_a=m_bv_b…③
根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv${\;}_{a}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv′${\;}_{a}^{2}$+mg•2R…④
$\frac{1}{2}$m_bv${\;}_{b}^{2}$=$\frac{1}{2}$m_bv′${\;}_{b}^{2}$+m_bg•2r…⑤
联立①②③④⑤得：
$\frac{m}{{m}_{b}}$=$\sqrt{\frac{r}{R}}$
即：m_b=m$\sqrt{\frac{R}{r}}$
（2）若m_a=m_b=m，由动量守恒定律得：v_a=v_b=v
当a球恰好能通过圆轨道的最高点时，E_弹最小，
根据机械能守恒得：
E_p=[$\frac{1}{2}$m（$\sqrt{gR}$）²+mg•2R]×2=5mgR
答：（1）小球b的质量为m$\sqrt{\frac{R}{r}}$；
（2）若m_a=m_b=m，且要求a、b都还能够通过各自的最高点，则弹簧在释放前至少具有5mgR的弹性势能．

点评 解决该题关键能判断出小球能通过最高点的条件，然后根据动量守恒定律和机械能守恒定律联立列式求解．