题目内容
2．
竖直平面（纸面）内有一半径为R的圆形区域，O为圆心，如图所示．在该圆形区域内加一竖直方向的匀强电场，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子沿图中水平直径AO从圆上的A点以速度v射入圆形区域，在圆上的D点离开该区域，已知图中θ=120°．现将电场换为充满该区域垂直纸面的匀强磁场，同一粒子以同样速度沿直径从A点射入圆形区域，也在D点离开该区域．不计粒子重力．（1）求电场强度的大小和方向以及磁感应强度的大小和方向；
（2）求粒子经电场从A到D的时间以及经磁场从A到D的时间；
（3）若沿纸面内从A点同时向磁场区域各个方向以大小相同的速度v均匀射入该粒子，则沿AO方向射入的粒子从D点射出时，还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例是多少？并简述理由．
分析 （1）粒子在匀强电场中粒子做类平抛运动，由平抛规律结合牛顿第二定律即可求出电场强度大小；加磁场时，粒子做匀速圆周运动，画出粒子在磁场中的运动轨迹图象，由几何关系可以得到轨道半径，进而由洛伦兹力提供向心力可得磁感应强度的大小，利用左手定则即可判断出磁场的方向．
（2）粒子在磁场中运动时，根据轨迹的圆心角求解时间，由类平抛的规律得到电场运动的时间，即可解答．
（3）找出沿AO方向射入的粒子从D点射出时，恰好从磁场中射出粒子的初速度方向，进而找到还在磁场中运动的粒子的初速度角度范围，利用初速度角度之比即可求出还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例．
解答 
解：（1）加电场时，粒子在电场中做类平抛运动，
根据牛顿第二定律可得：Eq=ma ①
类平抛规律有：R+Rcos60°=vt ②
Rsin60°=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$ ③
联立①②③式可得：E=$\frac{4\sqrt{3}{mv}^{2}}{9qR}$，电场方向：竖直向下
加磁场时，粒子从A到D有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ④
由几何关系有：r=Rtan$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{3}$R⑤
联立④⑤式得：B=$\frac{\sqrt{3}mv}{3qR}$，
根据左手定则可知，磁场方向：垂直纸面向里
（2）由②式可得粒子经电场从A到D的时间：t=$\frac{3R}{2v}$
粒子在磁场中运动，由几何关系可知：圆心角α=60°
圆运动周期：T=$\frac{2πr}{v}$ ⑥
联立⑤⑥式可得，粒子经磁场的运动时间：t′=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{1}{6}$T=$\frac{\sqrt{3}πR}{3v}$
（3）如图所示，沿AO方向射入的粒子从D点射出时，从A点发射的与水平方向成θ2=60°粒子恰好从圆形区域的C点射出，
则此时：入射初速度方向在角θ1=30°的范围内的粒子已飞离磁场；
入射初速度方向在角θ2=60°的范围内的粒子仍在磁场中运动，
入射初速度方向在角θ3=90°的范围内的粒子已飞离磁场，
所以沿AO方向射入的粒子从D点射出时，还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例：$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}+{θ}_{2}+{θ}_{3}}$=$\frac{60°}{180°}$=$\frac{1}{3}$
答：（1）电场强度的大小为$\frac{4\sqrt{3}{mv}^{2}}{9qR}$，电场方向竖直向下；磁感应强度的大小为$\frac{\sqrt{3}mv}{3qR}$，方向垂直纸面向里；
（2）粒子经电场从A到D的时间以及经磁场从A到D的时间为$\frac{\sqrt{3}πR}{3v}$；
（3）若沿纸面内从A点同时向磁场区域各个方向以大小相同的速度v均匀射入该粒子，则沿AO方向射入的粒子从D点射出时，还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例是$\frac{1}{3}$．
点评 本题考查带电粒子在电场中的类平抛运动以及在磁场中的匀速圆周运动，解题关键问题是做出粒子的运动轨迹，结合运动形式选择合适的规律解决问题，带电粒子在磁场中的运动，一定要掌握好几何方法；第（3）问考查定圆绕定点的旋转模型，利用初速度方向角度范围之比去求粒子占所有粒子的比例，对学生几何能力要求较高．
如图所示，两个相同的轻质铝环能在一个光滑的绝缘圆柱体上自由移动，设有大小不相等的电流按如图所示的方向进入两铝环，则两铝环的运动情况是（ ）| A． | 彼此靠近，加速度变大且两者的加速度大小时刻相等 | |
| B． | 彼此靠近，两者的加速度大小和速度大小不会时刻相等 | |
| C． | 彼此远离，加速度变小且两者的加速度大小时刻相等 | |
| D． | 彼此远离，两者的加速度大小和速度大小不会时刻相等 |
| A． | 三个小球的加速度相同 | |
| B． | 三个小球所受的重力做功不同 | |
| C． | 三个小球所受的重力平均功率相同 | |
| D． | 斜向上抛出的小球能达到的高度最大 |
如图所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B的摆长相等．先让A摆振动起来，其它各摆随后也跟着做受迫振动．稳定后，（ ）| A． | B、C、D摆的振动周期不同 | B． | B、C、D摆的振动周期相同 | ||
| C． | D摆振幅最大 | D． | C摆振幅最大 |
如图所示，AB为空气与某种介质的界面，直线MN垂直于界面AB．某单色光以i=60°的入射角从空气射到界面上，折射角r=30°．设光在空气中的传播速度约为C=3×108m/s．求：
如图所示，AB（光滑）与CD（粗糙）为两个对称斜面，斜面的倾角均为θ，其上部都足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面BEC的两端相切，一个物体在离切点B的高度为H处，以初速度v0沿斜面向下运动，物体与CD斜面的动摩擦因数为μ．
如图所示，Q1和 Q2是两个电荷量大小相等的点电荷，MN 是两电荷的连线，HG 是两电荷连线的中垂线，O是垂足，下列说法正确的是（ ）| A． | 若两电荷是异种电荷，则 OM 的中点与 ON 的中点电势一定相等 | |
| B． | 若两电荷是异种电荷，则 O 点的电场强度大小，与 MN 上各点相比是最小的，而与 HG 上各点相比是最大的 | |
| C． | 若两电荷是同种电荷，则 OM 中点与 ON 中点处的电场强度一定相同 | |
| D． | 若两电荷是同种电荷，则 O 点的电场强度大小，与 MN 上各点相比是最小的，与 HG 上各点相比是最大的 |
如图所示，在xoy平面内y＞0的区域中存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，在y＜0的区域也存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），一带正电的粒子从y轴上的P点垂直磁场射入，速度方向与y轴正向成60°．粒子第一次进入y＜0的区域时速度方向与x轴正向成150°，再次在y＞0的区域运动时轨迹恰与y轴相切．已知OP的距离为2$\sqrt{3}$a，粒子的重力不计，求：
如图，物体A套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑（B始终未与滑轮相碰），则（ ）| A． | 绳与杆的夹角为α时，B的速率为vsinα | |
| B． | 绳与杆的夹角为α时，B的速率为vcosα | |
| C． | 物体B也做匀速直线运动 | |
| D． | 物体B做匀加速直线运动 |