Question

7．如图所示，AB（光滑）与CD（粗糙）为两个对称斜面，斜面的倾角均为θ，其上部都足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面BEC的两端相切，一个物体在离切点B的高度为H处，以初速度v₀沿斜面向下运动，物体与CD斜面的动摩擦因数为μ．
（1）物体首次到达C点的速度大小；
（2）物体沿斜面CD上升的最大高度h和时间t；
（3）请描述物体从静止开始下滑的整个运动情况，并简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出物体首次到达C点的速度大小；
（2）根据牛顿第二定律和速度位移公式求出物体沿斜面CD上升的最大高度h；
根据速度时间公式求出时间t；
（3）分情况讨论：①当物体与CD斜面的摩擦因数较大时，物体滑上CD斜面并匀减速上升静止在CD斜面某处；
②当物体与CD斜面的摩擦因数较小时，物体在斜面上做最大高度逐渐降低的匀变速直线运动，最终在BEC圆弧内做往复周期运动．

解答 解：（1）物体在光滑斜面AB和光滑的圆弧面BEC运动过程中，
由机械能守恒定律得，$\frac{1}{2}$mv₀²+mgH=$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：v_C=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gH}$；
（2）由牛顿第二定律得，mgsinθ+μmgcosθ=ma，
则物体沿CD上升的加速度：a=gsinθ+μgcosθ；
由速度位移公式得，${v}_{C}^{2}$=2a$\frac{h}{sinθ}$，
解得：h=$\frac{（{v}_{0}^{2}+2gH）sinθ}{2（gsinθ+μgcosθ）}$；
物体从C点上升到最高点所用的时间：
t=$\frac{{v}_{C}}{a}$=$\frac{\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gH}}{gsinθ+μgcosθ}$；
（3）情况一：
物体滑上CD斜面并匀减速上升静止在CD斜面某处．
理由是：物体与CD斜面的摩擦因数较大．
情况二：
物体在轨道上做往复运动，在斜面上做匀变速直线运动，最大高度逐渐降低，最终在BEC圆弧内做往复周期运动．
理由是：物体在CD斜面上克服摩擦力做功机械能减少；在BEC圆弧内只有重力做功，机械能守恒．
答：（1）物体首次到达C点的速度大小为$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gH}$；
（2）物体沿斜面CD上升的最大高度h为$\frac{（{v}_{0}^{2}+2gH）sinθ}{2（gsinθ+μgcosθ）}$；时间t为$\frac{\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gH}}{gsinθ+μgcosθ}$；
（3）见解答．

点评 本题主要考查动能定理的应用、牛顿第二定律及匀变速直线运动公式等知识的灵活运用，关键要弄清物体在不同阶段满足的规律，熟练运用相关公式即可正确解题．