Question

8．真空室中有如图甲所示的装置，电极K持续发出的电子（初速不计）经过电场加速后，从小孔O沿水平放置的偏转极板M、N的中心轴线OO′射入．加速电压U₁=$\frac{m{L}^{2}}{2{eT}^{2}}$，M、N板长均为L，偏转极板右侧有荧光屏（足够大且未画出）．M、N两板间的电压U_MN随时间t变化的图线如图乙所示，其中U₂=$\frac{4m{L}^{2}}{3e{T}^{2}}$．调节两板之间的距离，使得每个电子都能通过偏转极板，已知电子的质量、电荷量分别为m、e，不计电子重力．

（1）求电子通过偏转极板的时间t；
（2）偏转极板之间的最小距离d；
（3）当偏转极板间的距离为最小值d时，荧光屏如何放置时电子击中的范围最小，该范围的长度是多大．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求加速电场的末速度，进入偏转电场后做类平抛运动，水平方向匀速直线运动
（2）t=0、T、2T…时刻进入偏转电场的电子，竖直方向先加速运动，后作匀速直线运动，射出电场时沿垂直于竖直方向偏移的距离y最大．匀加速运动和匀速运动的竖直位移满足条件${y}_{1}^{\;}+{y}_{2}^{\;}≤\frac{d}{2}$，即可求解
（3）先求出不同时刻射出偏转电场的电子沿垂直于极板方向的速度，再求出电子速度偏转角，从而求出侧移距离的最大值与最小值之差，即可求解

解答 解：（1）加速电场，根据动能定理有：$e{U}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
偏转电场中，水平方向：$L={v}_{0}^{\;}t$
解得时间为：t=T
（2）t=0、T、2T…时刻进入偏转电场的电子，竖直方向先加速运动，后作匀速直线运动，射出电场时沿垂直于竖直方向偏移的距离y最大．
竖直方向加速有：
${y}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}×\frac{e{U}_{0}^{\;}}{md}（\frac{T}{2}）_{\;}^{2}$
竖直方向匀速运动有：${y}_{2}^{\;}=2{y}_{1}^{\;}$
电子能射出偏转极板有${y}_{1}^{\;}+{y}_{2}^{\;}≤\frac{d}{2}$
得：d≥L
（3）对满足（2）问条件下任意确定的d，不同时刻射出偏转电场的电子沿垂直于极板方向的速度约为：
${v}_{y}^{\;}=\frac{e{U}_{0}^{\;}T}{2md}$
电子速度偏转角的正切值均为$tanα=\frac{e{U}_{0}^{\;}T}{2md{v}_{0}^{\;}}=\frac{e{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{2mdL}$
电子射出偏转电场时的偏转角度均相同，即速度方向相同，不同时刻射出偏转电场的电子沿垂直于极板方向的侧移距离可能不同，侧移距离的最大值与最小值之差
$△y=\frac{e{U}_{0}^{\;}}{md}（\frac{T}{2}）_{\;}^{2}$
若荧光屏与电子出偏转极板后的速度垂直，则电子击中荧光屏的范围最小，该最小范围为：△y′=△ycosα
联立解得：$△y′=\frac{\sqrt{13}}{13}L$
答：（1）电子通过偏转极板的时间t为T；
（2）偏转极板之间的最小距离d为L；
（3）当偏转极板间的距离为最小值d时，荧光屏与电子出偏转极板后的速度垂直，则电子击中荧光屏的范围最小，该范围的长度是$\frac{\sqrt{13}}{13}L$

点评 本题考查了带电粒子在电场中加速和偏转问题，注意带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，根据平抛运动的基本规律解题，难度适中．