Question

8．“神舟八号”与“天宫一号”对接前各自绕地球运动，设“天宫一号”在半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁，“神舟八号”在半径为r₂的圆轨道上运动，r₁＞r₂，则（　　）

• A． “天宫一号”的运行速度大于7.9 km/s
• B． “神舟八号”的周期T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$
• C． 地球表面的重力加速度g=$\frac{{4{π^2}{r_1}}}{T_1^2}$
• D． 地球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得出速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，由$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得出周期由于半径的关系．可以知道物体的速度与轨道半径一一对应；又因为$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$，得出加速度$a=G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}$加速度的与轨道半径的关系．

解答 解：A、根据题意可知，“天宫一号”的在轨运行高度大于于近地卫星的高度，由卫星的环绕速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$可知，高度越低速度越大，第一宇宙速度轨道最小，运行速度最大，所以“天宫一号”的在轨运行速度小于第一宇宙速度．故A错误；
B、根据$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$ ①，所以：$\frac{{T}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}$，得${T}_{2}^{\;}={T}_{1}^{\;}\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}$，故B正确；
CD、天宫一号围绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}$．得地球质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$
设地球的半径是R，由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$地球表面的重力加速度为：$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{1}^{2}}$．故C错误．D正确；
故选：BD

点评 一个天体绕中心天体做圆周运动时万有引力提供向心力，灵活的选择向心力的表达式是我们顺利解决此类题目的基础．我们要按照不同的要求选择不同的公式来进行求解．