Question

15．如图所示，在容器A的顶部通过弹簧竖直悬挂小球B，小球B的质量为m，弹簧的劲度系数为k．现将小球从弹簧原长处静止释放，第一次运动到最低点的时间为t．则在任意的$\frac{t}{2}$时间内，小球下降的最大距离是$\frac{\sqrt{2}mg}{k}$，弹簧的弹性势能增加量最大值为$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$．

Answer 1

分析 弹簧处于原长时静止释放小球，此时小球的加速度为g，方向竖直向下，根据简谐运动的对称性可知小球在最低点的加速度大小和方向，再由牛顿第二定律求出此时的弹力，即为最大弹力．

解答 解：弹簧处于原长时静止释放小球，此时小球的加速度为g，方向竖直向下，此后小球做简谐运动．
当弹簧的弹力与重力大小相等时，小球的速度最大，此位移是小球做简谐振动的平衡位置．此时小球下降的距离：
$△x=\frac{mg}{k}$=A
A即为小球做简谐振动的振幅．
小球做简谐运动，根据简谐运动的对称性可知小球从平衡位置到最低点的过程经历的时间与从最高点到平衡位置的时间是相等的，所以由：小球第一次运动到最低点的时间为t可知，小球做简谐振动的周期为：T=2t．
由小球做简谐振动的特点可知，小球在平衡位置的附近的速度最大，所以小球在平衡位置附近的$\frac{t}{2}=\frac{T}{4}$时间内下降的距离最大．
结合简谐振动的振动方程：x=A$•sin\frac{2π}{T}•t$可知，在任意的$\frac{t}{2}$时间内，小球下降的最大距离是：$2×\frac{\sqrt{2}}{2}A$=$\frac{\sqrt{2}mg}{k}$
当小球到达最低点时，弹簧的伸长量为：△x=2A=$\frac{2mg}{k}$
小球下降的距离也是2A，该过程中小球的机械能转化为弹簧的弹性势能，则弹簧的最大弹性势能为：
E_Pm=mg•△x=$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$
故答案为：$\frac{\sqrt{2}mg}{k}$；$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$

点评 该题考查简谐振动的位移与能量关系，解决本题的关键是抓住简谐运动的对称性，得到小球在最低点的位移的大小；同时还要掌握对振动方程的应用．