题目内容

2．据每日邮报2014年4月18日报道，美国国家航空航天局（NASA）目前宣布首次在太阳系外发现“类地”行星Kepler-186f．假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h处自由释放一个小球（引力视为恒力），落地时间为t．已知该行星半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．该行星的第一宇宙速度为$\frac{πR}{T}$
B．宇宙飞船绕该星球做圆周运动的周期不大于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$
C．该行星的平均密度为$\frac{3h}{2πRG{t}^{2}}$
D．如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面高度为$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$

分析 根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，绕该行星做圆周运动的卫星的万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律求出速度、周期、质量，然后分析答题．

解答 解：物体在行星表面在自由落体运动，h=$\frac{1}{2}$gt2，解得，星球表面的重力加速度：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
A、星球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$，故A错误；
B、根据万有引力提供圆周运动向心力有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，可知轨道半径越小周期越小，卫星的最小半径为R，则周期最小值为Tmin=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$=πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故B错误；
C、由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，解得：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$，星球的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3h}{2πG{t}^{2}R}$，故C正确；
D、同步卫星的周期与星球自转周期相同故有：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），解得：h=$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R，故D错误．
故选：C．

点评 本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．

练习册系列答案
相关题目
1．下列说法正确的是（　　）
A．磁感线从磁体的N极出发，终止于磁体的S极
B．磁感线可以表示磁场的方向和强弱
C．磁感线和电场线都只能分别表示磁场和电场的方向
D．放入通电螺线管内的小磁针，根据异名磁极相吸的原则，小磁针的N极一定指向通电螺线管的S极
2．如图所示，交流发电机模型的正方形线圈abcd在匀强磁场中，绕OO′轴匀速转动，线圈共有N=100匝，边长ab=bc=10cm，线圈内阻为r=1Ω，外电路电阻为R=9Ω，磁感应强度是B=0.1T，线圈转速是n=10r/s，求：
（1）如图所示时线圈上感应电流的方向；
（2）从中性面开始计时，感应电动势的瞬时值表达式；
（3）线圈平面与磁感线夹角为30°时的感应电动势的大小；
（4）转动过程中电压表的读数；
（5）电阻R上产生的热功率；
（6）线圈每转一周，外力做的功；
（7）从图示位置开始，线圈转过90°角的过程中通过内阻r的电量．
10．如图甲所示，在x轴上有一个点电荷Q（图中未画出），O、A、B为轴上三点．放在A、B两点的检验电荷受到的电场力跟检验电荷所带电荷量的关系如图乙所示．以x轴的正方向为电场力的正方向，则（　　）
A．点电荷Q一定为负电荷B．点电荷Q位于AB之间
C．A点的电场强度大小为2×103N/CD．A点的电势比B点的电势低
17．如图所示电路，电源电动势恒定．当电源内阻忽略不计时，S断开，电流表A1，A2的示数之比为1：3，电路消耗的总功率为5.4W；S闭合，电路消耗的总功率为6.6W，则S闭合时，A1和A2的示数之比为（　　）
A．3：9B．4：9C．5：9D．6：9
7．如图，相同的电流表分别改装成两个电流表A1、A2和两个电压表V1、V2，A1的量程大于A2的量程，V1的量程大于V2的量程，把它们接入图所示的电路，闭合开关后（　　）
A．V1的读数比V2的读数小
B．A1指针偏转角度比A2指针偏转角度大
C．A1的读数比A2的读数大
D．V1指针偏转角度比V2指针偏转角度大
14．一球形人造卫星，其最大横截面积为A、质量为m，在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动．由于受到稀薄空气阻力的作用，导致卫星运行的轨道半径逐渐变小．卫星在绕地球运转很多圈之后，其轨道的高度下降了△H，由于△H＜＜R，所以可以将卫星绕地球运动的每一圈均视为匀速圆周运动．设地球可看成质量为M的均匀球体，万有引力常量为G．取无穷远处为零势能点，当卫星的运行轨道半径为r时，卫星与地球组成的系统具有的势能可表示为EP=-$\frac{GMm}{r}$．
（1）求人造卫星在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期；
（2）某同学为估算稀薄空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设：卫星运行轨道范围内稀薄空气的密度为ρ，且为恒量；稀薄空气可看成是由彼此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都具有与卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变．在满足上述假设的条件下，请推导：
①估算空气颗粒对卫星在半径为R轨道上运行时，所受阻力F大小的表达式；
②估算人造卫星由半径为R的轨道降低到半径为R-△H的轨道的过程中，卫星绕地球运动圈数n的表达式．
11．如图所示，重力G1=4N的砝码悬挂在绳PA和PB的结点上，PA偏离竖直方向37°角，PB水平且连在所受重力为G2=100N的木块上，木块静止于倾角为37°的斜劈M上，斜劈M重为200N．（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8），试求：
（1）绳PB上的拉力大小；
（2）木块所受斜面对它的弹力和摩擦力各是多大？
（3）地面对斜劈M弹力和摩擦力各是多大？
12．如图所示，三个相同的小球A、B、C，其中小球A沿高为h、倾角为θ的光滑斜面以初速度v0从顶端滑到底端，小球B以同样大小的初速度从同等高度处竖直上抛，小球C在同等高度水平抛出．则（　　）
A．小球A到达地面的速度最大
B．从开始至落地，重力对它们做功相同
C．三个小球到达地面时，小球B重力的瞬时功率最大
D．从开始运动至落地过程中，重力对它们做功的平均功率一定相同

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