题目内容

14．一球形人造卫星，其最大横截面积为A、质量为m，在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动．由于受到稀薄空气阻力的作用，导致卫星运行的轨道半径逐渐变小．卫星在绕地球运转很多圈之后，其轨道的高度下降了△H，由于△H＜＜R，所以可以将卫星绕地球运动的每一圈均视为匀速圆周运动．设地球可看成质量为M的均匀球体，万有引力常量为G．取无穷远处为零势能点，当卫星的运行轨道半径为r时，卫星与地球组成的系统具有的势能可表示为EP=-$\frac{GMm}{r}$．
（1）求人造卫星在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期；
（2）某同学为估算稀薄空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设：卫星运行轨道范围内稀薄空气的密度为ρ，且为恒量；稀薄空气可看成是由彼此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都具有与卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变．在满足上述假设的条件下，请推导：
①估算空气颗粒对卫星在半径为R轨道上运行时，所受阻力F大小的表达式；
②估算人造卫星由半径为R的轨道降低到半径为R-△H的轨道的过程中，卫星绕地球运动圈数n的表达式．

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径求出周期的大小．
（2）①取卫星前一定空间内的空气为研究对象，结合动量定理以及万有引力提供向心力求出阻力F的大小．
②根据万有引力提供向心力得出在不同轨道上的速度，从而求出在不同轨道上的动能，以及在不同轨道上的机械能，根据机械能的变化，结合阻力做功求出卫星绕地球运动圈数n的表达式．

解答 解：（1）卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=M$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$；
（2）①最大横截面积为A的卫星，经过时间△t从图中的实线位置运动到了图中的虚线位置，该空间区域的稀薄空气颗粒的质量为：△m=ρAv△t
以这部分稀薄空气颗粒为研究对象，碰撞后它们都获得了速度v，设飞船给这部分稀薄空气颗粒的平均作用力大小为F，根据动量定理有：F△t=△mv
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=M$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：F=$\frac{ρAGM}{R}$，
根据牛顿第三定律，卫星所受的阻力大小为：F′=F=$\frac{ρAGM}{R}$．
②设卫星在R轨道运行时的速度为v1、动能为Ek1、势能为Ep1、机械能为E1，
根据牛顿定律和万有引力定律有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
卫星的动能为：EK1=$\frac{1}{2}$mv12，
势能为：EP1=-$\frac{GMm}{R}$，
解得：E1=-$\frac{GMm}{2R}$，
卫星高度下降△H，在半径为（R-△H）轨道上运行，
同理可知其机械为：E2=-$\frac{GMm}{2（R-△H）}$，
卫星轨道高度下降△H，其机械能的改变量为：△E=-$\frac{GMm}{2}$（$\frac{1}{R-△H}$-$\frac{1}{R}$）
卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功．设卫星在沿半径为R的轨道运行一周过程中稀薄空气颗粒作用于卫星的阻力做的功为W0，
利用小量累积的方法可知W0=-F×2πR=-2πρAGM上式表明卫星在绕不同轨道运行一周，稀薄空气颗粒所施加的阻力做的功是一恒量，与轨道半径无关．则△E=nW0
解得：n=$\frac{m△H}{4πρA（R-△H）R}$．
答：（1）人造卫星在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期为2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$；
（2）①阻力F大小的表达式为F=$\frac{ρAGM}{R}$．
②卫星绕地球运动圈数n的表达式为n=$\frac{m△H}{4πρA（R-△H）R}$．

点评 本题考查了万有引力定律与功能关系、动量定理等知识的综合，难度较大，难点在于能够正确地建立物理模型，比如选取卫星前的一定空间内的空气为研究对象，结合动量定理求解阻力的大小．

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