Question

15．如图所示，B为半径为R的竖直光滑圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α．一个质量为m的小球在圆轨道左侧的A点以水平速度v₀被抛出，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）

• A． 小球从A运动到B的时间t=$\frac{{v}_{0}}{g}$tanα
• B． A．B之间的距离L=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$tanα（1+$\frac{tanα}{2}$）
• C． 小球运动到B点时，重力的瞬时功率P=mgv₀tanα
• D． 小球运动到竖直圆轨道的最低点时，圆轨道对它的支持力F=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{Rco{s}^{2}α}$+3mg-2mgcosα

Answer 1

分析 根据平行四边形定则，抓住小球恰好沿B点切线进入圆轨道求出小球在B点的竖直分速度，结合速度时间公式求出运动的时间．
根据初速度和时间求出水平位移，结合竖直位移，运用平行四边形定则求出AB间的距离．
根据B点竖直分速度，结合瞬时功率的公式求出重力的瞬时功率．
根据动能定理求出最低点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小．

解答 解：A、根据平行四边形定则知，小球通过B点时竖直方向上的分速度v_y=v₀tanα．
则运动的时间t=$\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{{v}_{0}tanα}{g}$．故A正确．
B、A、B间的水平距离 x=${v}_{0}t=\frac{{{v}_{0}}^{2}tanα}{g}$，A、B间的竖直距离y=$\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=\frac{{{v}_{0}}^{2}ta{n}^{2}α}{2g}$，根据平行四边形定则知，A、B间的距离L=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{{{v}_{0}}^{2}tanα}{g}）^{2}+（\frac{{{v}_{0}}^{2}ta{n}^{2}α}{2g}）^{2}}$=$\frac{{{v}_{0}}^{2}tanα}{g}\sqrt{1+\frac{ta{n}^{2}α}{4}}$，故B错误．
C、小球运动到B点时，重力的功率P=mgv_y=mgv₀tanα，故C正确．
D、小球运动到B点的速度${v}_{B}=\frac{{v}_{0}}{cosα}$，根据动能定理得，mgR（1-cosα）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，由牛顿第二定律得，$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，联立解得F=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{Rco{s}^{2}α}$+3mg-2mgcosα，故D正确．
故选：ACD．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．