Question

3．如图所示，一光滑的定滑轮两边用轻绳吊着A、B两物块，A、B的质量分别为m_A、m_B，m_A=1.5m_B，将A固定，B放在地面上，绳子刚好拉直，在它们的右侧一个斜面体上，一物块C刚好与A在同一高度，由静止同时释放A、C，结果B到最高点时，C刚好到达地面，已知开始时A离地面的高度为h，物块B上升过程中没有与天花板相碰，斜面倾斜角θ=30°．设A与地面碰撞后不反弹，求：
（1）物块B上升的最大高度；
（2）物块C与斜面的动摩擦因数．

Answer 1

分析 （1）A与B运动的过程中机械能守恒，由此得出A到达地面时AB的速度，然后B上升的过程中由机械能守恒即可求出高度；
（2）对AB组成的系统分析，由牛顿第二定律求出加速度，然后由运动学的公式得出时间；对C进行分析，由运动学的公式得出加速度，仍然会进行受力分析，得出动摩擦因数．

解答 解：（1）A下降的过程中B上升，该过程中机械能守恒，得：${m}_{A}gh-{m}_{B}gh=\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}^{2}$
代入数据得：$v=\sqrt{0.4gh}$
此后B继续上升，机械能守恒，得：$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}^{2}={m}_{B}gh′$
所以：$h′=\frac{{v}^{2}}{2g}=0.2h$
B上升的最大高度是：H=h+h′=1.2h
（2）A与B在一起运动时设绳子的拉力为F，则A与B的加速度 的大小是相等的，所以：
m_Ag-F=m_Aa
F-m_Bg=m_Ba
将m_A=1.5m_B代入，整理得：a=0.2g
B上升的第一段过程中的时间：${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{\sqrt{0.4gh}}{0.2g}=\sqrt{\frac{10h}{g}}$
B做竖直上抛运动的时间：${t}_{2}=\frac{v}{g}=\frac{\sqrt{0.4gh}}{g}=0.2\sqrt{\frac{10h}{g}}$
B上升的总时间：$t={t}_{1}+{t}_{2}=1.2\sqrt{\frac{10h}{g}}$
B到最高点时，C刚好到达地面，二者运动的时间相等；设C下滑的加速度为：a′，
则：$\frac{1}{2}a′{t}^{2}=\frac{h}{sinθ}$
整理得：$a′=\frac{4h}{{t}^{2}}=\frac{4h}{1.44×\frac{10h}{g}}=\frac{5}{18}g$
沿斜面的方向C受到重力与摩擦力的作用，由牛顿第二定律得：m_Ca′=m_Csinθ-μm_Ccosθ
所以：$μ=\frac{gsinθ-a′}{gcosθ}=\frac{0.5g-\frac{5}{18}g}{\frac{\sqrt{3}}{2}g}=0.257$
答：（1）物块B上升的最大高度是1.2h；
（2）物块C与斜面的动摩擦因数是0.257．

点评 该题是牛顿第二定律的综合应用与机械能守恒相结合的题目，由于“B到最高点时，C刚好到达地面”，所以正确求出运动的时间是解题的关键．