Question

11．某同学的航模飞机，操控遥控器是飞机起飞时，飞机受到空气竖直向上的恒定推动力，大小是重力的$\frac{4}{3}$倍，一次试飞时，让飞机由静止从地面竖直上升．3秒末关闭发动机．忽略空气阻力．
（1）此飞机最高可上升到距地面多高处？
（2）关闭发动机多长时间后重新启动，才能使飞机恰好安全落地？

Answer 1

分析 （1）发动机的做功时间是3s，由牛顿第二定律求出加速度，然后求出发动机做功时飞机上升的高度，然后由机械能守恒求出另一段高度即可；
（2）飞机恰好安全落地，则落地时的速度恰好是0，然后由牛顿第二定律与运动学的公式即可求出关闭发动机多长时间后重新启动，能使飞机恰好安全落地．

解答 解：（1）飞机受到推力与重力，由牛顿第二定律得：$ma=F-mg=\frac{4}{3}mg-mg=\frac{1}{3}mg$
所以：$a=\frac{1}{3}g$
前3s飞机上升的高度：${h}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×10×{3}^{2}=15$m
3s末的速度：$v=at=\frac{1}{3}gt=\frac{1}{3}×10×3=10$m/s
关闭发动机后机械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg{h}_{2}$
得：${h}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2g}=\frac{1{0}^{2}}{2×10}m=5$m
飞机上升的总高度：H=h₁+h₂=15m+5m=20m
（2）关闭发动机后飞机做竖直上抛运动，设关闭发动机t₁多长时间后重新启动，飞机恰好安全落地时速度为0，重启发动机后的加速度与开始时的加速度相同，所以飞机下降的过程与上升的过程是完全对称的．
关闭发动机后飞机上升的时间：$t′=\frac{v}{g}=\frac{10}{10}s=1$s
由对称性可得，飞机开始下降后1s必须重启发动机，所以：t₁=2t′=2s
答：（1）此飞机最高可上升到距地面20m高处；
（2）关闭发动机2s时间后重新启动，才能使飞机恰好安全落地．

点评 该题考查牛顿运动定律的综合应用，注意到重启发动机后的加速度与开始上升时的加速度相等，飞机向上运动的过程与向下的运动过程是对称的，由运动的对称性解答是解题的捷径．