Question

4．如图所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ相距为d，导轨平面与水平面夹角为α，金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m，导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为B，金属导轨的上端与开关S、定值电阻R₁和电阻箱R₂相连．不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为g，现闭合开关S，将金属棒由静止释放．
（1）判断金属棒ab中电流的方向；
（2）若电阻箱R₂接入电阻的阻值为R₂=3R₁，当金属棒下降高度为h时，速度为v，求此过程中定值电阻R₁上产生的焦耳热Q₁；
（3）当B=0.80T，d=0.05m，α=37°时，金属棒能达到的最大速度v_m随电阻箱R₂阻值的变化关系如图乙所示，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求定值电阻的阻值R₁和金属棒的质量m．

Answer 1

分析 （1）金属棒由静止释放沿导轨向下运动时切割磁感线，将产生感应电流，根据右手定制判断感应电流的方向；
（2）分析金属棒能量转化情况，根据能量守恒定律可正确解答；
（3）当金属棒的速度达到最大时，有mgsinα=BIL成立，由此写出最大速度v_m和电阻R₂的函数关系，根据斜率、截距的物理意义即可正确解答．

解答 解：（1）由右手定则，金属棒ab中的电流方向为b到a．
（2）由能量守恒知，金属棒减小的重力势能等于增加的动能和电路中产生的焦耳热之和，则得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²+Q
解得：Q=mgh-$\frac{1}{2}$mv²，
两电阻串联，通过它们的电流相等，且R₂=3R₁，则它们产生的焦耳热之比 $\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{1}{3}$
又Q₁+Q₂=Q，则 Q₁=$\frac{1}{4}$Q=$\frac{1}{4}$mgh-$\frac{1}{8}$mv²；
（3）设最大速度为v，切割磁感线产生的感应电动势：E=BLv
由闭合电路的欧姆定律得：I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
从b端向a端看，金属棒受力如图，金属棒达到最大速度时满足：
    mgsinα-BId=0
由以上三式得：v=$\frac{mgsinα}{{B}^{2}{d}^{2}}$（R₁+R₂）
由图象可知：斜率为：k=$\frac{60-30}{2}$=15m/s•Ω，纵截距为 v₀=30m/s
得到：v₀=$\frac{mgsinα}{{B}^{2}{d}^{2}}$R₁，k=$\frac{mgsinα}{{B}^{2}{d}^{2}}$
解得：R₁=2.0Ω，m=0.004kg．
答：（1）金属棒ab中的电流方向为b到a．
（2）定值电阻R₁上产生的焦耳热Q₁是$\frac{1}{4}$mgh-$\frac{1}{8}$mv²；
（3）定值电阻的阻值R₁是2.0Ω，金属棒的质量m是0.004kg．

点评 电磁感应问题经常与电路、受力分析、功能关系等知识相结合，是高中知识的重点，该题中难点是第三问，关键是根据物理规律写出两坐标物理量之间的函数关系，结合数学知识来研究图象的意义．