Question

10．如图所示，竖直平面内的两个半圆轨道在B点平滑连接，两个半圆的圆心O₁、O₂在同一水平线上，粗糙的小半圆半径为R，光滑的大半圆半径为2R，一质量为m的滑块（可视为质点）从大的半圆一端A点以一定的初速度向上沿着半圆内壁运动，且刚好能通过大半圆的最高点，最后滑块从小半圆的左端冲出轨道，刚好能到达大半圆的最高点，已知重力加速度为g，则（　　）

• A． 滑块在A点的初速度为$\sqrt{6gR}$
• B． 滑块在A点时对半圆轨道的压力为6mg
• C． 滑块第一次通过小半圆过程克服摩擦里做的功为mgR
• D． 滑块到达大半圆的最高点返回后经O₁再次通过小半圆到达B点时的速度为$\sqrt{2gR}$

Answer 1

分析 滑块恰好能通过大半圆的最高点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律可求在在半圆最高点的速度，再由机械能守恒定律可求滑块在A的初速度；由牛顿第二、第三定律可求滑块在B点对小半圆的压力；根据动能定理求摩擦力做的功和分析正压力的变化情况，在分析摩擦力做功的变化情况．

解答 解：A、滑块刚好通过大圆最高点，重力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{2R}$
从A到大圆最高点过程，由动能定理得：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_A²
解得：v_A=$\sqrt{6gR}$，故A正确；
B、滑块在A点时，由牛顿第二定律得：N=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{2R}$，解得：N=3mg，由牛顿第三定律可知，滑块对半圆轨道的压力：N′=N=3mg，故B错误；
C、滑块从小半圆的左端冲出轨道，刚好能到达大半圆的最高点，由动能定理得：-mg•2R=0-$\frac{1}{2}$mv′²
滑块第一次在小半圆轨道运动过程，由动能定理得：-W_f=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv_A²
解得：W_f=mgR，v′=2$\sqrt{gR}$，滑块克服摩擦力做功为mgR，故C正确；
D、滑块第一次在小半圆上运动时的初速度为：$\sqrt{6gR}$，滑块到达大半圆的最高点返回后经过O₁时的速度为：2$\sqrt{gR}$，滑块经过小半圆同样高度的点时速度不同、对小半圆的压力不同，滑块受到的摩擦力不同，而滑块运动的路程相同，因此滑块第二次经过小半圆时克服摩擦力做功小于第一次经过小半圆时克服摩擦力做功：mgR，由动能定理可知，滑块到达大半圆的最高点返回后经O₁再次通过小半圆到达B点时的速度大于$\sqrt{2gR}$，故D错误；
故选：AC．

点评 本题考查了动能定理的应用，解决本题的关键知道在最高点的临界情况：重力等于向心力，运用牛顿第二定律和机械能守恒进行求解．要注意滑动摩擦力与正压力的大小成正比．