Question

4．如图甲所示，水平放置的两平行金属板长l=6.34cm，两板间距为d=2cm，两板间有磁感应强度按图乙所示规律变化的匀强磁场和电场强度按图丙所示规律变化的匀强电场，其中B₀=0.5T，E₀=1.0×10⁵V/m．t=0时刻金属板上极板带正电，磁场方向垂直纸面向里．一比荷为$\frac{q}{m}$=1.0×10⁸C/kg的带正电粒子（不计重力）以速度v₀=2.0×10⁵m/s平行金属板从两板左侧中间位置垂直磁场方向射入．求：

（1）粒子在运动过程中与上极板的最近距离；
（2）粒子在两极板间运动的总时间和在两极板间的偏转距离．（取π=3.14）

Answer 1

分析 （1）分析粒子随时间变化的受力情况，进而得到运动情况，从而得到向上偏转的最大距离，进而得到最近距离；
（2）根据粒子随时间的运动轨迹，由板长得到运动时间；再由运动轨迹得到偏转距离．

解答 解：（1）在0～π×10^-8时，带电粒子所受电场力F_电=qE₀，洛伦兹力F_洛=B₀qv₀；电场磁场同时存在，两力大小相等，方向相反，故合外力为零，粒子做匀速直线运动；
当电场力为零时，粒子只受洛伦兹力，粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，洛伦兹力做向心力，即$B{v}_{0}q=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{m{v}_{0}}{qB}=0.4cm$，粒子运动周期$T=\frac{2πm}{qB}=4π×1{0}^{-8}s$；
所以，由图乙和图丙可得，粒子运动轨迹如图所示，，
所以，粒子在运动过程中与上极板的最近距离为$\frac{d}{2}-R=0.8cm$；
（2）粒子在0～π×10^-8s内，向右运动x₁=v₀△t=0.002πm=0.628cm，在π×10^-8s～3π×10^-8s，粒子向右运动2R=0.8cm；之后向右运动的时间间隔和位移重复，
故由l=6.34cm，可得：6.34=4×（0.628+0.8）+0.628，故粒子在两极板间运动的总时间为4×3π×10^-8s+π×10^-8s=1.3π×10^-7s=4.082×10^-7s，且粒子刚好在两板中间位置；
故粒子两极板间的偏转距离为2R=0.8cm；
答：（1）粒子在运动过程中与上极板的最近距离为0.8cm；
（2）粒子在两极板间运动的总时间为4.082×10^-7s，在两极板间的偏转距离为0.8cm．

点评 物体运动问题，一般要先对物体进行受力分析，得到物体所受合外力的变化，进而由牛顿第二定律根据几何关系得到物体的运动状态，画出运动轨迹，进而求解．