Question

2．如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度分别为B₁=0.2T、B₂=0.05T，分界线OM与x轴正方向的夹角为α．在第二、三象限内存在着沿x轴正方向的匀强电场，电场强度E=1×10⁴V/m．现有一带电粒子由x轴上A点静止释放，从O点进入匀强磁场区域．已知A点横坐标x_A=-5×10^-2m，带电粒子的质量m=1.6×10^-24kg，电荷量q=+1.6×10^-15C．
（1）如果α=30^o，在OM上有一点P，OP=3×10^-2m，粒子从进入O点计时，经多长时间经过P点？
（2）要使带电粒子能始终在第一象限内运动，求α的取值范围？（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，根据动能定理列式求解末速度；进入磁场后，做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解轨道半径，画出运动轨迹，注意粒子通过直线边界时，进入时速度与边界线的夹角等于离开时速度与边界线的夹角；
（2）正确画出轨迹，由几何知识及三角函数求解．

解答 解：（1）在电场中加速过程，根据动能定理，有：$qE{x_A}=\frac{1}{2}m{v^2}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{2qE{x}_{A}}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×1.6×1{0}^{-15}×1×1{0}^{4}×5×1{0}^{-2}}{1.6×1{0}^{-24}}}$m/s=1×10⁶m/s；
粒子在磁场中运动时，根据牛顿第二定律，有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}$；
故${r_1}=\frac{mv}{{q{B_1}}}=\frac{{1.6×1{0^{-24}}kg×{{10}^6}m/s}}{{1.6×1{0^{-15}}C×0.2T}}=5×{10^{-3}}m$
${r_2}=\frac{mv}{{q{B_2}}}=\frac{{1.6×1{0^{-24}}kg×{{10}^6}m/s}}{{1.6×1{0^{-15}}C×0.05T}}=2×{10^{-2}}m$
粒子通过直线边界OM时，进入时速度与边界线的夹角等于离开时速度与边界线的夹角，故经过B₁磁场时沿着OM前进r₁距离，经过B₂磁场时沿着OM前进r₂距离，由于OP=3×10^-2m=2r₁+r₂，故轨迹如图所示：

故粒子从进入O点计时，到达P点经过的时间为：
t=$\frac{60°+60°}{360°}{T}_{1}+\frac{60°}{360°}{T}_{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{2πm}{q{B}_{1}}+\frac{1}{6}×\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=$\frac{{2π×1.6×1{0^{-24}}}}{{3×1.6×1{0^{-15}}×0.2}}+\frac{{π×1.6×1{0^{-24}}}}{{3×1.6×1{0^{-15}}×0.05}}$=3.14×10^-8s
（2）由于 r₂=2r₁，画出临界轨迹，如图所示：

由几何关系解得：cosα=$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}+{r}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，故α≤arccos$\frac{2}{3}$=48.2°；
答：（1）如果α=30^o，在OM上有一点P，OP=3×10^-2m，粒子从进入O点计时，经3.14×10^-8s时间经过P点；
（2）要使带电粒子能始终在第一象限内运动，α的取值范围为α≤48.2°．

点评 此题考查了粒子在复合场中的运动，需考生熟练掌握圆周运动的公式及应用．首先根据题意，画出粒子的运动轨迹，找到临界值，求出角度．根据草图找出粒子经过哪些点，通过分析得出数学规律．