Question

13．如图所示，在x≥O的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面朝里，假设一系列质量为m、电荷量为q的正离子初速度为零，经过加速电场加速后从O点沿Ox轴正方向进入匀强磁场区域．有一块厚度不计、高度为d的金属板竖直放置在磁场中，截面如图，M、N分别为金属板截面的上、下端点，M点的坐标为（d，2d），N点的坐标为（d，d）．不计正离子的重力．
（1）加速电场的电压在什么范围内，进入磁场的离子才能全部打在金属板上？
（2）求打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出粒子的速度，再根据洛伦兹力充当向心力求出恰好打到N点时的半径，在求出恰好打到M点的半径，中间的数据就是所求的电压范围；
（2）分别求出打到M点时的最长时间和打到N点时的最短时间，然后求比值即可．

解答 解：（1）设加速电压为U，正离子初速度为零，经过加速电场加速，根据动能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv²
正离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
R=$\frac{\sqrt{2mqU}}{qB}$
当加速电压较小时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较小，当离子恰好打到金属板下端点N点时，圆周运动的半径最小为R_min，如图1
根据几何知识可以判断R_min=d
故：U_min=$\frac{q{B}^{2}{d}^{2}}{2m}$
当加速电压较大时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较大，当离子恰好打到金属板上端点M点时，圆周运动的半径最大为Rmax，如图2
根据几何知识判断：R_max²=d²+（2d-R_min）²
解得R_max=$\frac{5}{4}$d
所以U_max=$\frac{25q{B}^{2}{d}^{2}}{32m}$
所以离子能全部打在金属板上，加速电压的取值范围为：$\frac{q{B}^{2}{d}^{2}}{2m}$≤U≤$\frac{25q{B}^{2}d{\;}^{2}}{32m}$
（2）设离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，根据圆周运动规律得：
T=$\frac{2πR}{v}$  ①
又qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$ ②
联立①②解得：T=$\frac{2πm}{qB}$
离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与加速电压无关．
离子在图1中所示的轨迹中运动时间最短为
t_min=$\frac{1}{4}$T
离子在图2所示的轨迹中运动时间最长为：
t_max=$\frac{90+θ}{360°}$
根据几何知识：cosθ=$\frac{d}{{r}_{max}}$
则：θ=37°
所以$\frac{{t}_{min}}{{t}_{max}}$=$\frac{90}{127}$
答：（1）加速电场的电压在为：$\frac{q{B}^{2}{d}^{2}}{2m}$≤U≤$\frac{25q{B}^{2}d{\;}^{2}}{32m}$范围内，进入磁场的离 子才能全部打在金属板上，
（2）打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值为$\frac{90}{127}$

点评 本题考查离子在匀强磁场和电场中的运动规律应用，要注意明确带电粒子在电场中运动时应用动能定理分析，而在磁场中要注意明确洛伦兹力充当向心力规律以及几何关系进行分析求解，对学生的数学规律应用能力要求较高．