Question

11．“∟”形轻杆两边互相垂直、长度均为l，可绕过O点的水平轴在竖直平面内自由转动，两端各固定一个金属小球A、B，其中A球质量为m，带负电，电量为q，B球的质量为$\frac{2}{3}$m，B球开始不带电，整个装置处于竖直向下的匀强电场中，电场强度$E=\frac{mg}{2q}$．现将“∟”形杆从OB位于水平位置由静止释放：
（1）当“∟”形杆转动的角速度达到最大时，OB杆转过的角度为多少？
（2）若使小球B也带上负电，仍将“∟”形杆从OB位于水平位置由静止释放，OB杆顺时针转过的最大角度为90°，则小球B带的电量为多少？转动过程系统电势能的最大增加值为多少？

Answer 1

分析 （1）根据力矩平衡求得转速最大时的角度；
（2）转过最大角度时，动能为零，根据动能定理求得所带的电荷量，根据能量守恒求得电势能的最大增加值

解答 解：（1）转速最大时，系统力矩平衡，有：
m_Aglsinθ=Eqlsinθ+m_Bglcosθ
解得：tanθ=$\frac{4}{3}$，θ=53°
（2）设B带的电量为q'，转过最大角度时，动能为零，由动能定理得：Eql+m_Bgl-m_Agl-E q'l=0
解得：q'=$\frac{1}{3}$q
当转角为α时电，势能的增加值等于两球克服电场力的功，有：W=E q'lsinα-Eql（1-cosα）
整理得：W=$\frac{1}{2}$mgl$[\frac{\sqrt{10}}{3}sin（α+β）-1]$，式中：tanβ=3
当sin（α+β）=1时，克服电场力的功达到最大，为：W_m=$\frac{1}{2}$mgl$（\frac{\sqrt{10}}{3}-1）$
电势能的最大增加值为：△E=W_m=$\frac{1}{2}$mgl$（\frac{\sqrt{10}}{3}-1）$
答：（1）当“∟”形杆转动的角速度达到最大时，OB杆转过的角度为53°
（2）若使小球B也带上负电，仍将“∟”形杆从OB位于水平位置由静止释放，OB杆顺时针转过的最大角度为90°，则小球B带的电量为$\frac{1}{3}q$，转动过程系统电势能的最大增加值为$\frac{1}{2}$mgl$（\frac{\sqrt{10}}{3}-1）$

点评 本题考查了电场强度等问题，应用机械能守恒定律、能量守恒定律即可正确解题，本题的难点是数学知识的应用；另外本题也可以应用杠杆平衡条件分析答题．