Question

2．图（a）中A和B是真空中的两块面积很大的平行金属板，加上周期为T的交变电压，在两板间产生交变电压，在两板间产生交变的匀强电场．已知B板电势为零，A板电势φ_A随时间t变化的规律如图（b）所示（图中φ₁、φ₂和T均未知）．在两板之间的中点P处，有一个带负电粒子（不计重力），在t=0时，粒子在电场力的作用下从静止开始运动．经过一个周期后（粒子没有和金属板相碰），该粒子恰好又回到P点，且粒子在P点的动能为E_h．则：
（1）φ₁和φ₂之比为多少？
（2）从O到$\frac{T}{2}$的过程中，电场力对粒子做的功为多少？

Answer 1

分析 （1）在0-$\frac{T}{2}$内，粒子一直向A极板运动，在$\frac{T}{2}$-T内，粒子先向A运动，速度为0后再反向向B运动，带电粒子在两板之间电压U_AB按图所示规律变化的电场中受到电场力作用，从而做匀变速运动．结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．
（2）根据动能定理求从O到$\frac{T}{2}$的过程中，电场力对粒子做的功

解答 解：设带电粒子的质量为m，电荷量为-q，两个金属板间距为d，
（1）在0-$\frac{T}{2}$内，粒子一直向A极板运动，设指向A极板的方向为正方向，
有：q$\frac{φ_1}{d}$=ma₁…①
v₁=a₁$\frac{T}{2}$…②
q$\frac{φ_1}{d}$x=$\frac{1}{2}$mv₁²…③
在$\frac{T}{2}$-T内，粒子先向A运动，速度为0后再反向向B运动，设指向B极板的方向为正方向，有：q$\frac{φ_2}{d}$=ma₂…④
v₂=-v₁+a₂$\frac{T}{2}$…⑤
q$\frac{φ_2}{d}$x=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²…⑥
由题意知：$\frac{1}{2}$mv₂²=E_k…⑦
①-⑥联合求解得：$\frac{v_1}{v_2}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{φ_1}{φ_2}$=$\frac{1}{3}$，
（2）从0到$\frac{T}{2}$的过程中，电场力对粒子做功为：
W₁=q$\frac{φ_1}{d}$x=$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{4}$${E}_{k}^{\;}$
答：（1）φ₁和φ₂之比为1：3
（2）从O到$\frac{T}{2}$的过程中，电场力对粒子做的功为$\frac{1}{4}{E}_{k}^{\;}$

点评 本题中粒子周期性变化的电场中运动，加速、减速交替，导致分析运动较复杂，考查分析复杂问题的能力．解决本题的关键理清粒子的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，