Question

9．一部电动机通过一轻绳从静止开始向上提起质量m=4.0kg的物体，在前2.0s内绳的拉力恒定，此后电动机保持额定功率P_额=600W工作，物体被提升至h=60m高度时恰好达到最大速度v_m．上述过程的v-t图象如图所示（取g=10m/s²，不计空气阻力），求：
（1）物体的最大速度v_m；
（2）物体速度v₂=12m/s时加速度的大小；
（3）物体从速度v₁=10m/s时开始，经过多长时间被提升至60m高度．

Answer 1

分析 （1）当电动机拉力和重力平衡时速度最大，根据功率定义可以求出最大速度．
（2）此时电动机以额定功率工作，根据功率公式求出电动机输出的拉力，由牛顿第二定律求出加速度．
（3）先计算匀加速上升高度，然后计算出匀变速运动高度，根据动能定理求出电动机工作时间．

解答 解：（1）当拉力F=mg时，物体达到最大速度v_m
由P=Fv，
得：${v}_{m}=\frac{{P}_{额}}{mg}=\frac{600}{4×10}=15m/s$
（2）当v₂=12m/s时电动机以额定功率工作
由P_额=F₂v₂
代入数据得：F₂=50N
由牛顿第二定律得：F₂-mg=ma₂
代入数据得：${a}_{2}=2.5m/{s}^{2}$
（3）物体匀加速阶段上升高度：${h}_{1}=\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}=\frac{10}{2}×2=10m$
物体变加速阶段上升高度：h₂=h-h₁=60-10=50m
变加速阶段由动能定理得：${P}_{额}{t}_{2}-mg{h}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
代入数据解得：t₂=3.75s
答：（1）物体的最大速度v_m为15m/s；
（2）物体速度v₂=12m/s时加速度的大小为2.5m/s²；
（3）物体从速度v₁=10m/s时开始，经过3.75s被提升至60m高度．

点评 本题关键是分析清楚物体的运动规律，然后分过程选择恰当的公式列式求解，类似于汽车的匀加速启动问题．