Question

9．在光滑绝缘水平面上方某区域（x≤3L）有沿x轴正方向的水平匀强电场，电场强度的大小及分布情况如图1所示．将质量为m₁、电荷量为+q的带电小球A在x=0处由静止释放，小球A将与质量为m₂、静止于x=L处的不带电的绝缘小球B发生正碰． 已知两球均可视为质点，碰撞时间极短，且碰撞过程中没有机械能的损失，没有电荷量的转移．E₀、L为已知量．
（1）若m₁=m₂，小球A与小球B发生碰撞后二者交换速度，求：
a．两小球第一次碰撞前，小球A运动的时间t₀以及碰撞前瞬时的速度大小v₀；
b．在图2中画出小球A自x=0处运动到x=5L处过程中的v-t图象．
（2）若m₁=km₂，通过计算分析说明无论倍数k取何值，小球A均可与小球B发生第二次碰撞．

Answer 1

分析 （1）a、小球A第一次与小球B碰撞前做初速度为零的匀加速直线运动，由牛顿第二定律和位移公式结合求出时间，再由速度公式求碰撞前瞬时的速度．
b、根据速度与时间的关系，画出v-t图象．
（2）碰撞过程中没有机械能的损失，根据动量守恒定律和能量机械能守恒定律结合求出碰后两球的速度表达式．碰后A球再次被电场加速，结合动能定理和能发生第二次碰撞的条件解答．

解答 解：（1）a、小球A第一次与小球B碰撞前做初速度为零的匀加速直线运动，由牛顿第二定律得
  a₁=$\frac{q{E}_{0}}{{m}_{1}}$
由L=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{0}^{2}$，得 t₀=$\sqrt{\frac{2L}{{a}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{2{m}_{1}L}{q{E}_{0}}}$
小球A与小球B碰撞前的瞬时速度 v₀=$\sqrt{2{a}_{1}L}$=$\sqrt{\frac{2q{E}_{0}L}{{m}_{1}}}$
b、小球A自x=0处运动到x=5L处的过程中，v-t图象如图所示．
（2）设两小球第一次碰撞后速度分别为v_A1、v_B1．
取碰撞前A球的速度方向为正方向，由动量守恒定律得
  km₂v₀=km₂v_A1+m₂v_B1；
由机械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}$km₂v₀²=$\frac{1}{2}$km₂v_A1²+$\frac{1}{2}$m₂v_B1²；
解得 v_A1=$\frac{k-1}{k+1}$v₀
     v_B1=$\frac{2k}{k+1}$v₀
之后A球再次被电场加速，若在x=3L处未发生碰撞，此时速度为v_A2，根据动能定理得
  4qE₀L=$\frac{1}{2}$km₂v_A2²-$\frac{1}{2}$km₂v_A1²+
解得 v_A2=$\frac{\sqrt{5{k}^{2}+6k+5}}{k+1}$v₀
则 v_A2＞v_B1
所以无论倍数k取何值，小球A均可与小球B发生第二次碰撞．
答：
（1）a．两小球第一次碰撞前，小球A运动的时间t₀是$\sqrt{\frac{2{m}_{1}L}{q{E}_{0}}}$，碰撞前瞬时的速度大小v₀是$\sqrt{\frac{2q{E}_{0}L}{{m}_{1}}}$．
b．在图2中画出小球A自x=0处运动到x=5L处过程中的v-t图象如图所示．
（2）无论倍数k取何值，小球A均可与小球B发生第二次碰撞．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律、动量守恒定律以及能量守恒定律的直接应用，要求同学们能正确分析题意，根据题目得出有效信息，注意使用动量守恒定律解题时要规定正方向．