Question

20．细杆的一端与小球相连，可绕O点的水平轴自由转动，不计摩擦，杆长为R．
（1）若球在最高点速度为$\frac{\sqrt{gR}}{2}$时，杆对球作用力为多少？
（2）若球在最高点速度为2$\sqrt{gR}$时，杆对球作用力为多少？

Answer 1

分析 对小球进行受力分析，由于小球做圆周运动，小球需要向心力．找出小球向心力的来源，根据牛顿第二定律列出等式，判断杆对球的作用力的方向．

解答 解：（1）当在最高点时对杆没有作用力时，重力提供向心力，得：$mg=\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
所以：${v}_{0}=\sqrt{gR}$
若球在最高点速度为$\frac{\sqrt{gR}}{2}$时，$\frac{\sqrt{gR}}{2}＜\sqrt{gR}$，杆对小球的作用力的方向向上，重力与支持力的合力提供向心力，得：
$mg-{N}_{1}=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$
得：${N}_{1}=mg-\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}=mg-\frac{m•\frac{gR}{4}}{R}=\frac{3}{4}mg$
（2）当在最高点时速度v＞$\sqrt{gR}$时，小球的重力不足以提供向心力，轻杆对小球有指向圆心的拉力．
此时：$mg+{N}_{2}=\frac{m{v}_{2}^{2}}{R}$
故${N}_{2}=\frac{m{v}_{2}^{2}}{R}-mg=\frac{m•4gR}{R}-mg=3mg$
答：（1）若球在最高点速度为$\frac{\sqrt{gR}}{2}$时，杆对球作用力为$\frac{3}{4}mg$，方向向上；
（2）若球在最高点速度为2$\sqrt{gR}$时，杆对球作用力为3mg，方向向下．

点评 轻杆的作用力可以提供支持力，也可以提供拉力，
要判断是拉力还是支持力，我们要从小球所需要得向心力入手研究，根据需要的向心力的大小和方向确定杆子的作用力．