Question

16．一根半径为R的内壁光滑的$\frac{3}{4}$圆周细钢管，形状如图所示，A与圆心在同一水平面内，一钢球被一弹簧枪从A处正对管口射入．
（1）欲使小钢球恰能到达C点，则小钢球到达C点时的速度为多少？从A点射入时的速度为多少？
（2）若使钢球经C后飞出．恰好又落回A点，则小钢球经过C点时的速度为多少？从A点射入时的速度为多少？

Answer 1

分析 （1）第一种情况：小钢球恰能到达C点，则在C点速度为零，由动能定理可求射入A的速度；
（2）第二种情况：小球从C点水平飞出，做平抛运动，由平抛运动规律和动能定理可求出C点的速度和射入的速度．

解答 解：（1）设细圆钢管的半径为R，第一次射入后小钢球恰好能达到C点，则在C点速度为零，即v_C=0；
从A到C的过程中，根据动能定理得：-mgR=0-$\frac{1}{2}$mv_A²
解得：v_A=$\sqrt{2gR}$
（2）第二次射入后小钢球从C点平抛出去并恰好落回A点，设经过最高点的速度为${v}_{c}^{′}$，射入的速度为${v}_{A}^{′}$，则由平抛运动规律可得：
在竖直方向上：R=$\frac{1}{2}$gt²
在水平方向上：R=${v}_{c}^{′}$t
联立解得：${v}_{c}^{′}$=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
从A到C的过程中，根据动能定理得：-mgR=$\frac{1}{2}$m${v}_{c}^{′2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{′2}$
代入解得：${v}_{A}^{′}$=$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$．
答：（1）欲使小钢球恰能到达C点，则小钢球到达C点时的速度为0，从A点射入时的速度为$\sqrt{2gR}$；
（2）小钢球经过C点时的速度为$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，从A点射入时的速度为$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$．

点评 本题为动能定理、平抛运动与圆周运动的结合的综合题，解决本题的关键掌握动能定理，以及知道做圆周运动沿半径方向的合力提供向心力．注意在轻杆模型中经过最高点的临界速度和最小速度．