Question

19．如图所示，质量为m的滑块从倾角θ=45°的固定光滑斜面的顶端A由静止滑下，然后无能量损失地滑上粗糙水平面BC．COD是半径为R的光滑半圆轨道，其中COD是直径且与水平面垂直，滑块经过半圆轨道最高点D时对轨道的压力大小F_N=3mg（g为重力加速度）．已知水平BC的长度$\overrightarrow{BC}$=4R，滑块与水平面BC间的动摩擦因数μ=0.6，滑块可视为质点，空气阻力不计．
（1）求斜面顶端A到水平面BC的高度h；
（2）请通过计算判断滑块能否垂直斜面撞在斜面的底端B；
（3）若改变高度h，使滑块运动到D点时恰好对轨道无压力，求滑块运动到C点时轨道对滑块的支持力大小F．

Answer 1

分析 （1）先分析滑块经过D点时的受力情况，由牛顿第二定律求得滑块经过D点时的速度，再对从开始到D点的整个过程，运用动能定理列式，可求得h．
（2）滑块离开D点后做平抛运动，根据平抛运动的规律分析滑块能否垂直斜面撞在斜面的底端B．
（3）先由牛顿第二定律求得滑块经过D点时的速度，再C点到D点的过程，由机械能守恒定律求出滑块经过C点的速度，在C点，由向心力公式求轨道对滑块的支持力大小F．

解答 解：（1）在D点，由牛顿第二定律得：
mg+F_N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
由题有：F_N=3mg
解得：v_D=2$\sqrt{gR}$
对从开始到D点的整个过程，运用动能定理得：
mg（h-2R）-μmg$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
结合 $\overrightarrow{BC}$=4R
联立解得：h=6.4R
（2）滑块离开D点后做平抛运动，假设能落在B点，则有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v_Dt
解得：x=4R=$\overrightarrow{BC}$，说明假设成立．
滑块落B点时，速度与水平方向的夹角为：
tanα=$\frac{gt}{{v}_{D}}$=$\frac{g•\sqrt{\frac{4R}{g}}}{2\sqrt{gR}}$=1，则 α=45°
根据几何关系知，滑块能垂直斜面撞在斜面的底端B．
（3）设滑块运动到D点时恰好对轨道无压力时速度为v_D′，则有：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{′2}}{R}$
从C到D，由机械能守恒定律有：
2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{′2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C点，由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
联立解得：F=6mg
答：（1）斜面顶端A到水平面BC的高度h是6.4R；
（2）滑块能垂直斜面撞在斜面的底端B；
（3）滑块运动到C点时轨道对滑块的支持力大小F是6mg．

点评 分析清楚滑块的运动过程，把握每个过程和状态的物理规律是关键，要明确向心力的来源，运用动能定理时要注意选择研究的过程．