Question

12．如图所示，将边长为L、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度也为L、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，并再次进入磁场时恰好做匀速运动，整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力，且有f=0.25mg，而线框始终保持在竖直平面内不发生转动．求
（1）线框最终离开磁场时的速度；
（2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度；
（3）整个运动过程中线框产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）物体匀速运动，由共点力的平衡条件可求得线框的速度；
（2）由动能定理可求得物体从最高点落入磁场瞬间时的速度；
（3）对全程分析，由能量守恒定律可求得线框在上升阶段产生的焦耳热．

解答 解：（1）线框在下落阶段通过磁场过程中，始终做匀速运动，设其速度为v₁，则有：
mg=f+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$，
解得：v₁=$\frac{（mg-f）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{3mgR}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）设线框在上升阶段离开磁场时的速度为v₂，由动能定理，线框从离开磁场至上升到最高点的过程有：
0-（mg+f）h=0-$\frac{1}{2}$mv₂²…①
线圈从最高点落至进入磁场瞬间，下落过程中有：
（mg-f）h=$\frac{1}{2}$mv₁²…②
由①②得：v₂=$\frac{\sqrt{15}mgR}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
（3）设线框刚进入磁场时速度为v0，在向上穿越磁场过程中，产生焦耳热为Q₁，由功能关系，则有：
$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv₂²=Q₁+（mg+f）2L，
而v₀=2v₂
解得：Q₁=$\frac{5}{4}mg（\frac{9{m}^{2}g{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}-2L）$
线框在下落过程中，产生的焦耳热为：Q₂=2（mg-f）L，
解得：Q=Q₁+Q₂=$\frac{5}{4}mg（\frac{9{m}^{2}g{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}-2L）$+2（mg-f）L=$\frac{45{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}^{4}}-mgL$，
答：（1）线框最终离开磁场时的速度$\frac{3mgR}{4{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度$\frac{\sqrt{15}mgR}{4{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）整个运动过程中线框产生的焦耳热$\frac{45{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}^{4}}-mgL$．

点评 此类问题的关键是明确所研究物体运动各个阶段的受力情况，做功情况及能量转化情况，选择利用牛顿运动定律、动能定理或能的转化与守恒定律解决针对性的问题，由于过程分析不明而易出现错误，所以，本类问题属于难题中的易错题．