题目内容

11.某科研小组设计了一个粒子探测装置.如图甲所示,一个截面半径为R的圆筒(筒长大于2R)水平固定放置,筒内分布着垂直于轴线的水平方向匀强磁场,磁感应强度大小为B.图乙为圆筒的入射截面,图丙为竖直方向过筒轴的切面.质量为m,电荷量为q的正离子以不同的初速度垂直于入射截面射入筒内.圆筒内壁布满探测器,可记录粒子到达筒壁的位置.筒壁上的P点和Q点与入射面的距离分别为R和2R.(离子碰到探测器即被吸收,忽略离子间的相互作用)
(1)离子从O点垂直射入,偏转后到达P点,求该入射离子的速度v0;
(2)离子从OC线上垂直射入,求位于Q点处的探测器接收到的离子的入射速度范围;
(3)若离子以第(2)问求得范围内的速度垂直入射,从入射截面的特定区域入射的离子偏转后仍能到达距入射面为2R的筒壁位置,画出此入射区域的形状并求其面积.

分析 这是一道涉及立体几何的带电粒子在磁场中做匀速圆周运动问题,难点在于第三问,从一个特定区域入射的离子仍能到达距入射面为2R的筒壁位置,这要从极端情况下做分析才能找到该区域的形状.
(1)由于OD=DP,所以由洛仑兹力提供向心力就可以求得粒子入射的速度.
(2)因为入射的速度越大,半径越大,则打在筒壁上的距离越远,所以打在Q点的粒子的入射速度最大,打在P点的粒子的入射速度最小,分别由洛仑兹力提供向心力即可求得最大和最小速度.
(3)从最大入射速度去考虑,当离子以$\frac{5qBR}{2m}$的速度在偏离竖直线CO 入射时,入射点与正下方筒壁的距离仍然为R.由于对称性,入射区域的面积是两个弓形面积组成,由几何关系就能求出该部分区域的面积.

解答 解:(1)离子运动的半径为R,有:
$q{v}_{0}B=\frac{m{v}^{2}}{R}$
得:${v}_{0}=\frac{qBR}{m}$
(2)粒子以v1 从C 点入射时,刚能到达Q 点,则偏转半径为:R1=2R
  $q{v}_{1}B=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$
  ${v}_{1}=\frac{2qBR}{m}$
  粒子以v2速度从O 点入射时,刚能到达Q,设半径为R2,根据题意得:
  $({R}_{2}-R)^{2}+(2R)^{2}={{R}_{2}}^{2}$
  得:${R}_{2}=\frac{5R}{2}$  
   $q{v}_{2}B=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$  
  ${v}_{2}=\frac{5qBR}{2m}$
  速度范围为:$\frac{2qBR}{m}≤v≤\frac{5qBR}{2m}$
(3)当离子以$\frac{5qBR}{2m}$的速度在偏离竖直线CO 入射时,入射点与正下方筒壁的
  距离仍然为R.所以特定入射区域为图中阴影部分
  由几何关系得
  扇形面积:${S}_{1}=\frac{120}{360}×π{R}^{2}=\frac{π{R}^{2}}{3}$
  三角形面积:${S}_{2}=\frac{\sqrt{3}{R}^{2}}{4}$
  阴影部分总面积:$S=2({S}_{1}-{S}_{2})=\frac{2π{R}^{2}}{3}-\frac{\sqrt{3}{R}^{2}}{2}$
答:(1)离子从O点垂直射入,偏转后到达P点,该入射离子的速度为$\frac{qB{v}_{0}}{m}$.
(2)离子从OC线上垂直射入,求位于Q点处的探测器接收到的离子的入射速度范围是:$\frac{2qBR}{m}≤v≤\frac{5qBR}{2m}$.
(3)若离子以第(2)问求得范围内的速度垂直入射,从入射截面的特定区域入射的离子偏转后仍能到达距入射面为2R的筒壁位置,画出此入射区域的形状如图所示,其面积为$\frac{2π{R}^{2}}{3}-\frac{\sqrt{3}{R}^{2}}{2}$.

点评 第三问是涉及立体几何,又考察空间想象能力的题目,要从极端情况出发,当粒子以最大速度入射时,入射点与正下方筒壁的距离仍然为R.由(1)问的结论对比进行分析,才能知道入射面的形状--两个对称的弓形组成,由几何关系求出此区域的面积.

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