Question

9．黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．两星视为质点，不考虑其它星体的影响，引力常量为G．
（1）可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m′的星体（可视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂，试求m′（用m₁、m₂表示）；
（2）求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v=2.7×10⁵m/s，运行周期T=4.7π×10⁴s，质量m₁=6m_s，试通过估算，判断暗星B是否有可能是黑洞．（G=6.67×10^-11N•m²/kg²，m_s=2.0×10³⁰kg）

Answer 1

分析 （1）抓住A、B做圆周运动的向心力相等，角速度相等，求出A、B轨道半径的关系，从而得知A、B距离为A卫星的轨道半径关系，可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，根据万有引力定律公式求出质量m′．
（2）根据万有引力提供向心力求出暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；
（3）根据第（2）问的表达式求出暗星B的质量，与太阳的质量进行比较，判断是否是黑洞．

解答 解：（1）设A、B圆轨道的半径分别为r₁、r₂，由题意知，A、B的角速度相等，为ω₀，
有：${F}_{A}={m}_{1}{r}_{1}{{ω}_{0}}^{2}$，${F}_{B}={m}_{2}{r}_{2}{{ω}_{0}}^{2}$，又F_A=F_B．
设A、B之间的距离为r，又r=r₁+r₂．
由以上各式得，$r=\frac{{m}_{1}+{m}_{2}}{{m}_{2}}{r}_{1}$   ①
由万有引力定律得，${F}_{A}=\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$．
将①代入得，${F}_{A}=G\frac{{m}_{1}{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}{{r}_{1}}^{2}}$
令${F}_{A}=G\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}$，比较可得$m′=\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$．②
（2）由牛顿第二定律有：$G\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，③
又可见星的轨道半径${r}_{1}=\frac{vT}{2π}$④
由②③④得，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$．
（3）将m₁=6m_s代入$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$得，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{6m}_{s}+{m}_{2}）}^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$  ⑤
代入数据得，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{6m}_{s}+{m}_{2}）}^{2}}=3.5{m}_{s}$．⑥
设m₂=nm_s，（n＞0）将其代入⑥式得，
$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{n}{（\frac{6}{n}+1）^{2}}{m}_{s}=3.5{m}_{s}$．⑦
可见，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{6m}_{s}+{m}_{2}）}^{2}}$的值随n的增大而增大，令n=2时，得
$\frac{n}{（\frac{6}{n}+1）^{2}}{m}_{s}=0.125{m}_{s}＜3.5{m}_{s}$⑧
要使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m₂必须大于2m₁，由此得出结论，暗星B有可能是黑洞．
答：（1）m′的质量是$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}$．
（2）暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式为$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$．
（3）暗星B有可能是黑洞．

点评 本题是双子星问题，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解．