题目内容

4．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可以推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r
（1）试推算这个双星系统的总质量（引力常量为G）
（2）研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星经过一段时间的演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星间距变为原来的n倍，则此时双星做圆周运动的周期变为原来的多少倍？

分析 （1）这是一个双星的问题，两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，两颗恒星有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题．
（2）双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据牛顿第二定律分别对两星进行列式，来求解．

解答 解：（1）设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1，ω2．根据题意有 
ω1=ω2 …①
r1+r2=r…②
根据万有引力定律和牛顿定律，有：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=m1ω12r1…③
 G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=m2ω22r2…④
联立以上各式解得：r1=$\frac{{m}_{2}r}{{m}_{1}+{m}_{2}}$…⑤
根据角速度与周期的关系知：ω1=ω2=$\frac{2π}{T}$…⑥
联立③⑤⑥式解得：m1+m2=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}G}$r3，
（2）设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2．两星之间的距离为l．
由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
对m1：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=${m}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{1}$----⑦
对m2：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=${m}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{2}$----⑧
 又因为R1十R2=l，m1+m2=M     ⑨
由⑦⑧⑨式可得 ${T}^{2}=\frac{4{π}^{2}{l}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}$
所以当两星总质量变为KM，两星之间的距离变为原来的n倍，
圆周运动的周期${T′}^{2}=\frac{4{π}^{2}{（nl）}^{3}}{G（{m}_{1}′+{m}_{2}′）}$=$\frac{4{π}^{2}{n}^{3}{l}^{3}}{GkM}$=$\frac{{n}^{3}}{k}$T2
即T′=$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{k}}T$
此时双星做圆周运动的周期变为原来的$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{k}}$倍
答：（1）这个双星系统的总质量是=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}G}$r3；
（2）此时双星做圆周运动的周期变为原来的$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{k}}$倍．

点评 本题是双星问题，与卫星绕地球运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，关键抓住条件：相同的角速度和周期．

练习册系列答案
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8．关于布朗运动下列说法正确的是（　　）
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（1）若从线圈处于中性面开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时值表达式；
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13．在α粒子散射实验中，如果一个α粒子跟金箔中的电子相撞．则（　　）
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