题目内容

2．如图所示，倾角为37°的粗糙斜面AB底端与半径R=0.4m的光滑半圆轨道BC平滑相连，O为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直方向，A、C两点等高．质量m=1kg的滑块从A点由静止开始下滑，恰能滑到与O等高的D点，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求滑块与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）若使滑块能到达C点，求滑块从A点沿斜面滑下时的初速度v0的最小值；
（3）若滑块离开C处的速度大小为4m/s，求滑块从C点飞出至落到斜面上的时间t；
（4）改变A的初速度v0，通过计算判断从最高点飞出的滑块能否垂直打到斜面上．

分析 （1）由题，滑块恰能滑到与O等高的D点，速度为零，对A到D过程，运用动能定理列式可求出动摩擦因数μ；
（2）滑块恰好能到达C点时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式可得到C点的速度范围，再对A到C过程，运用动能定理求初速度v0的最小值；
（3）离开C点做平抛运动，由平抛运动的规律和几何知识结合求时间；
（4）找出物块恰好能垂直打到斜面上时C点速度的值，再与竖直平面内做圆周运动能通过C的临界速度$\sqrt{gR}$做比较，即可分析出滑块能否垂直打到斜面上．

解答 解：（1）滑块由A到D过程，根据动能定理，有：mgR-μmgcos37°•$\frac{2R}{sin37°}$=0
代入数据解得：μ=$\frac{1}{2}$tan37°=0.375
（2）若使滑块能到达C点，根据牛顿第二定律有：${F_N}+mg=m\frac{v_c^2}{R}$
代入数据解得：${v_c}≥\sqrt{gR}=2m/s$
从A到C的过程列动能定理有：$-μmgcos{37^0}×\frac{2R}{{sin{{37}^0}}}=\frac{1}{2}mv_c^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
代入数据解得：${v_0}=\sqrt{v_c^2+2gR}≥2\sqrt{3}m/s$
所以初速度v0的最小值为$2\sqrt{3}$m/s
（3）滑块离开C后做平抛运动，水平方向：x=vct，竖直方向上有：$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
水平竖直位移间的关系为：tan37°=$\frac{2R-y}{x}$
代入得：5t2+3t-0.8=0
解得：t=0.2s
（4）根据速度偏向角公式有：$tan{37^0}=\frac{v_0}{gt}$
根据几何关系可得：$tan{37^0}=\frac{{2R-\frac{1}{2}g{t^2}}}{{{v_0}t}}$
两式联立，解得：${v_0}=\sqrt{\frac{18}{17}gR}$
根据竖直平面内做圆周运动的极限条件有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
可知物块要过圆周运动的最高点C点，速度需满足：vc≥$\sqrt{gR}$
因为：${v_0}=\sqrt{\frac{18}{17}gR}$＞$\sqrt{gR}$，故改变A的初速度v0，小球可以垂直打到斜面上．
答：（1）滑块与斜面间的动摩擦因数μ为0.375；
（2）若使滑块能到达C点，滑块从A点沿斜面滑下时的初速度v0的最小值为$2\sqrt{3}$m/s；
（3）若滑块离开C处的速度大小为4m/s，滑块从C点飞出至落到斜面上的时间t为0.2s；
（4）改变A的初速度v0，从最高点飞出的滑块能垂直打到斜面上．

点评 本题考查动能定理与向心力、平抛运动及几何知识的综合运用，要注意挖掘隐含的临界条件，熟练掌握平抛运动速度偏向角与位移偏向角公式得运用．

练习册系列答案
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13．一质量m=60kg的运动员从下蹲状态竖直向上跳起，经t=0.2s以大小v=1m/s的速度离开地面，取重力加速度g=10m/s2，在这0.2s内（　　）
A．地面对运动员的冲量大小为180N•sB．地面对运动员的冲量大小为60N•s
C．地面对运动员做的功为30JD．地面对运动员做的功为零
13．太阳系八大行星绕太阳运行的轨迹可粗略地视为圆，下表是各星球的半径和轨道半径．
行星名称水星金星地球火星木星土星天王星海王星
星球半径/×106m2.446.056.373.3969.858.223.722.4
轨道半径/×1011m0.5791.081.502.287.7814.328.745.0
从表中所列数据可以估算出天王星的公转周期最接近（　　）
A．40年B．80年C．160年D．200年
10．一质量为1kg的质点静止于光滑水平面上，从t=0时刻开始，受到水平外力F作用，如图所示．下列判断正确的是（　　）
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17．在光滑的水平面上有一个质量为m=1kg的小球，小球与水平轻弹簧及与竖直方向成θ=60°角不可伸长的轻绳一端相连，如图所示，此时小球处于静止平衡状态，且水平面对小球的弹力恰好为零，当剪断轻绳的瞬间，求小球的加速度大小和方向．此时轻弹簧的弹力与水平面对小球的弹力的比值为多少？（g=10m/s2）
7．如图所示，光滑水平地面上静止放置由弹簧相连的木块A和B，开始时弹簧处于原长，现给A一个向右的瞬时冲量，让A开始以速度v0向右运动，若mA＞mB，则（　　）
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B．在以后运动过程中B的速度还可能为零
C．当弹簧再次恢复为原长时，A的速度可能大于B的速度
D．当弹簧再次恢复为原长时，A的速度一定小于B的速度
14．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是：（　　）
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能不守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B为系统的机械能守恒
D．丁图中，在不计空气阻力的情况下，绳子不能伸缩，小球在竖直面内左右摆动，小球的机械能不守恒
11．在竖直平面内，有一光滑的弧形轨道AB，水平轨道BC=4m．质量m=1kg的物体从弧形轨道A点无初速滑下，经过B点，最后停在C点，A点距水平轨道高h=0.80m．（g=10m/s2）求：
（1）物体滑至B点的速度大小；
（2）在BC段摩擦力做功．
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A．2fhB．fhC．2（$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$-mgh）D．$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv2

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