Question

3．如图（a）所示，水平放置的平行金属板A、B间加直流电压U，A板正上方有“V”字型足够长的绝缘弹性挡板．在挡板间加垂直纸面的交变磁场，磁感应强度随时间变化如图（b），垂直纸面向里为磁场正方向，其中B₁为已知，B₂为未知，比荷为$\frac{q}{m}$、不计重力的带正电粒子从靠近B板的C点静止释放，t=0时刻，粒子刚好从小孔O进入上方磁场中，在 t₁时刻粒子第一次撞到左挡板，紧接着在t₁+t₂时刻（t₁、t₂均为末知）粒子撞到右挡板，然后粒子又从O点竖直向下返回C点．此后粒子立即重复上述过程，做周期性运动．粒子与挡板碰撞前后电量不变，沿板的分速度不变，垂直板的分速度大小不变、方向相反，不计碰撞的时间及磁场变化产生的感应影响．求：

（1）粒子第一次到达O点时的速率；
（2）图中B₂的大小；
（3）金属板A和B间的距离d．
（4）若粒子每次与金属板碰撞时间为t₀，则每次碰撞板受到的冲击力为多少？

Answer 1

分析 带电粒子在电场中先加速，进入交变磁场后交替做逆时针、顺时针、逆时针方向圆周运动，之后返回O点在电场中最后回到出发点．由粒子运动的特殊性和周期性画出粒子的运动轨迹，由运动学规律、牛顿第二定律、动能定理等相应知识来求解．
（1）由动能定理求出进入磁场的速度．
（2）由题意，在t₁ 时间内粒子做逆时针圆弧运动，由对称性粒子偏转60°，碰撞后速度方向变为竖直向上．在t₂时间内粒子做顺时针方向圆周运动，划过半圆后，再与另一板相碰．再做逆时针圆周运动的轨迹与先前的轨迹对称，由时间关系和周期公式就能求出B₁与B₂关系．
（3）要使粒子重复地做周期性地往返运动，则粒子在电场中加速减速的时间与交变磁场的周期有一定的关系，先找出该关系，再根据匀变速直线运动规律求出AB两板间距．
（4）显然由动量定理求出每次粒子与挡板相碰时的冲击力．

解答 解：（1）粒子从B板到A板过程中，电场力做正功，根据动能定理有$Uq=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$．
   解得粒子第一次到达O点时的速率$v=\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$ 
（2）粒子进入上方后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由qvB=$\frac{mv2}{r}$   
   得粒子做匀速圆周运动的半径${r}_{1}=\frac{mv}{{B}_{1}q}$，${r}_{2}=\frac{mv}{{B}_{2}q}$
   使其在整个装置中做周期性的往返运动，运动轨迹如右图所示，

   由图易知：r₁=2r₂       图中B₂=2B₁    
（3）在0～t₁时间内，粒子做匀速圆周运动周期${T}_{1}=\frac{2π{r}_{1}}{v}=\frac{2πm}{{B}_{1}q}$   
    在t₁～（t₁+t₂）时间内，粒子做匀速圆周运动的周期${T}_{2}=\frac{2πm}{{B}_{2}q}=\frac{πm}{{B}_{1}q}$
   由轨迹图可知${t}_{1}=\frac{1}{6}{T}_{1}=\frac{πm}{3{B}_{1}q}$，${t}_{2}=\frac{1}{2}{T}_{2}=\frac{πm}{2{B}_{1}q}$  
   粒子在金属板A和B间往返时间为t，有$d=\frac{0+v}{2}×\frac{t}{2}$
   且满足：t=t₂+n（t₁+t₂），n=0，1，2，3，----
    联立可得金属板A和B间的距离：$d=\frac{π（3+5n）}{24{B}_{1}}\sqrt{\frac{2Um}{q}}$，n=0，1，2，3，----
（4）在垂直于板的方向上由动量定理有：2mv₀sin30°=Ft₀（1分）
  所以$F=\frac{2m{v}_{0}sin30°}{{t}_{0}}$=$\frac{m{v}_{0}}{{t}_{0}}$
答：（1）粒子第一次到达O点时的速率为$\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$．
（2）图中B₂的大小2B₁．
（3）要使粒子重复地做周期性地往返运动，则粒子在电场中加速减速的时间与交变磁场的周期有一定的关系，先找出该关系，再根据匀变速直线运动规律求出AB两板间距为$d=\frac{π（3+5n）}{24{B}_{1}}\sqrt{\frac{2Um}{q}}$     n=0，1，2，3，----
（4）若粒子每次与金属板碰撞时间为t₀，则每次碰撞板受到的冲击力为$\frac{m{v}_{0}}{{t}_{0}}$

点评 本题的难点在于①找到粒子做周期性往复运动的轨迹，由几何关系找到半径关系，从而求出磁感应强度的关系．②求AB板间距，交变磁场的周期与粒子在电场中的时间有一定的关系：粒子在电场中加速或减速的时间为粒子做三个圆周运动的总时间的整数倍，显然是一个多解问题．