Question

13．如图甲所示．直角坐标系xOy中，第二象限内有沿x轴正方向的匀强磁场，第一四象限内有垂直坐标平面的匀强交变磁场，磁场方向以垂直纸面向外为正方向．第三象限内有一发射装置（没有画出）沿y轴正方向射出一个比荷$\frac{q}{m}$=100C/kg的带正电的粒子（可视为质点且不计重力），该粒子以v₀=10m/s的速度从x轴上的点A（-1m，0）进入第二象限，从y轴上的C点（0，2m）进入第一象限，取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，第一、四象限内磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化，求：
（1）第二象限内电场的电场强度大小；
（2）粒子进入磁场后第一次经过x轴时的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理及类平抛运动的规律列式分析，从而求解电场强度大小
（2）粒子在交变磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出半径和周期，根据几何关系求出位置坐标．

解答 解：（1）带电粒子在第二象限的电场中做类平抛运动，设粒子从A点到C点用时为t，则
Eqx_A=$\frac{1}{2}$m（v_C²-v_A²）     
x_A=$\frac{{v}_{Cx}}{2}t$
y_c=v₀t
v_C²=v₀²+v²_cx
解得：E=0.5N/C         
v_C=10$\sqrt{2}$N；
（2）设粒子在C点的运动方向与y轴正方向成θ角，则
cosθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{C}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即θ=45°
粒子在第一象限磁场中运动时qv_CB=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
解得r=$\frac{\sqrt{2}}{4}$m
粒子做圆周运动的周期T=$\frac{2πr}{{v}_{C}}$=$\frac{π}{20}$s
所示粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，粒子运动第四个半圆的过程中第一次经过x轴，在x轴上对应的弦长为$\sqrt{2}$r
所以OD=16rsinθ-$\sqrt{2}$r=1.75m
粒子第一次经过x轴时的位置坐标为（1.75m，0）
答：（1）第二象限内电场的电场强度大小0.5N/C；
（2）粒子第一次经过x轴时的位置坐标（1.5m，0）；

点评 本题中质点在复合场运动，分析受力情况，确定质点的运动情况是解题的基础．结合粒子运动的周期性，运用数学几何知识综合求解．