Question

1．如图所示，用内壁光滑的薄壁细管变成的“S”形轨道固定于竖直平面内，弯曲部分是由两个半径均为R=0.2m的半圆平滑对接而成（圆的半径远大于细管内径）．轨道底端A与水平地面相切，顶端与水平轨道相切于B点．一倾角为θ=37°的倾斜轨道固定于右侧地面上，其顶点D与水平轨道的高度差为h=0.45m，并与其它两个轨道处于同一竖直平面内．一质量为m=0.1kg的小物体（可视为质点）在A点被弹射入“S”形轨道内，沿轨道ABC运动，并恰好从D点以平行斜面的速度进入斜轨道．已知小物体进入轨道时对A点的压力为21.5N，小物体与BC段间的动摩擦因数μ=0.2（不计空气阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）小物体运动到B点时对“S”形轨道的作用力大小和方向．
（2）水平轨道BC的长度．
（3）小物体从B点运动到D点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出A点的速度，根据动能定理求出B点的速度，结合牛顿第二定律求出在B点的小物体对轨道的作用力大小和方向．
（2）根据平抛运动的规律求出C点的速度，根据牛顿第二定律和速度位移公式求出BC的长度．
（3）根据速度时间公式求出在BC的时间，结合平抛运动的时间求出B到D点的时间．

解答 解：（1）在A点，根据牛顿第二定律得：$N-mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
代入数据解得：v_A=$\sqrt{41}m/s$．
对A到B运用动能定理得：$-mg2R=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{33}m/s$
在最高点，根据牛顿第二定律得：${N}_{B}+mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
代入数据解得：N_B=15.5N，
则小物体运动到B点时对“S”形轨道的作用力大小为15.5N，方向向上．
（2）平抛运动的时间为：${t}_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}s=0.3s$，
在D点的竖直分速度为：v_y=gt₁=10×0.3m/s=3m/s，
根据平行四边形定则知：${v}_{C}=\frac{{v}_{y}}{tan37°}=\frac{3}{\frac{3}{4}}m/s=4m/s$，
在水平轨道上的加速度大小为：a=μg=0.2×10m/s²=2m/s²，
则BC的长度为：${s}_{BC}=\frac{{{v}_{B}}^{2}-{{v}_{C}}^{2}}{2a}=\frac{33-16}{4}m=4.25m$．
（3）BC段的时间为：${t}_{2}=\frac{{v}_{B}-{v}_{C}}{a}=\frac{\sqrt{33}-4}{2}s=0.87s$，
则B到D的时间为：t=t₁+t₂=0.3+0.87s=1.17s．
答：（1）小物体运动到B点时对“S”形轨道的作用力大小为15.5N，方向向上．
（2）水平轨道BC的长度为4.25m．
（3）小物体从B点运动到D点所用的时间为1.17s．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，涉及到圆周运动和平抛运动，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动的向心力来源是解决本题的关键．