Question

11．如图所示．放置在光滑水平面上的长木板，其上表面与左侧竖直平面内的光滑圆弧轨道底端B相切，木板长度l=1.2m，质量M=2kg．与圆弧轨道末端相距d=1.6m的C处有一竖直墙．质量m=2kg的小滑块从圆弧轨道顶端A由静止滑下，离开B后在木板上滑行．已知圆弧轨道半径R=0.2m．滑块与木板间的动摩擦因数μ=0.2，木板与左右两侧发生碰撞后能原速率返回．（g取10m/）试求
（1）滑块滑至圆弧轨道底端B时对轨道的压力N
（2）滑块最终位置与竖直墙间的距离S
（3）整个过程中产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）利用机械能守恒求的速度，由牛顿第二定律求的作用力；
（2）利用牛顿第二定律和运动学公式分阶段求的位移即可求得
（3）有能量守恒求的产生的热量

解答 解：（1）滑块下滑过程，由机械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
v=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.2}$m/s=2m/s
由向心力公式得：
${F}_{N}-mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$
代入数据解得：F_N=60 N
根据牛顿第三定律，滑块对轨道的压力为：N=60 N
（2）由牛顿第二定律，滑块做减速运动的加速度大小为：
$a=\frac{μmg}{m}$=0.2×10m/s²=2 m/s²
木板加速运动的加速度大小为：
$a′=\frac{μmg}{M}$=0.2×10 m/s²=2m/s²
滑块向右滑动至与木板速度相同过程所用时问设为t，则有v-at=a′t
解得t=0.5 s
共同运动速度为：v′=a′t=1m/s
这段时间内滑块位移大小为：${x}_{1}=vt-\frac{1}{2}a{t}^{2}=2×0.5-\frac{1}{2}×2×{0.5}^{2}m$=0.75 m
木板位移大小为：${x}_{2}=\frac{1}{2}a′t{′}^{2}$=0.25 m
因为，所以滑块相对木板滑行，有：△x=x₁-x₂=0.5m
与木板共同向右做匀速运动，直到木板与墙发生碰撞，设碰撞后至滑块与木板达到共同速度时间为t′，则有：
-v′-at′=v′-a′t′
解得：t′=0.5s，
滑块和木板与墙碰撞后向左运动的最终共同速度为：v_共=0
这段时间内滑块向右运动位移大小为：$x′=\frac{v{′}^{2}}{2a}=\frac{{1}^{2}}{2×2}m=0.25m$
由于，滑块最终静止在木板上，故与竖直墙间的距离为：
s=△x-x=0.25m
（3）由功能关系，整个过程中产生的热量为：
Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}×2×{2}^{2}J=4J$
答：（1）滑块滑至圆弧轨道底端B时对轨道的压力N为60N
（2）滑块最终位置与竖直墙间的距离S为0.25m
（3）整个过程中产生的热量Q为4J．

点评 本题主要考查了机械能守恒，牛顿第二定律与运动学公式，加速度是解决问题的关键