已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=

x

bx+1

（x＞0），数列{a_n}满足a₁=a，

1

an+1

=f(

1

an

)（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=8b，且等比数列{b_n}同时满足：①b₁=a₁，b₂=a₅；②数列{b_n}的每一项都是数列{a_n}中的某一项．试判断数列{b_n}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
（3）对问题（2）继续探究，若b₂=a_m（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{b_n}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{b_n}是无穷数列，并说明理由．

已知数列{a_n}的前n项和S_n=12n-n²，求数列{a_n}的通项公式．

在等差数列{a_n}中，a₂=3，a₉=17，求a₁₉+a₂₀+a₂₁的值．

已知四个数构成等差数列，前三个数的和为15，第一个数与第四个数的乘积为27，求这四个数．

已知数列{a_n}满足：a₁=

5

2

，且a_n=

4an-1-1

an-1+2

（n≥2，n∈N^*）．
（1）设b_n=

1

an-1

，证明数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（3）设c_n=a_n•a_n+1，S_n为数列{c_n}的前n项和，证明S_n＜n+6（1+lnn）．

运行如图所示的程序框图，将输出的a依次记作a₁，a₂，…，a_n；输出的b依次记作b₁，b₂，…b_n；输出的S依次记作S₁，S₂，…，S_n．（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求

bn+1

an+1

-

1+bn

an

(n∈N*，n≤2014)的值
（3）求证：(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＜

10

3

b1b2…bn(n∈N*，n≤2014)．

已知正项数列{a_n} 中，a₁=2，log₂a_n+1•（log₂a_n+3）=3log₂a_n（n∈N^*），
（1）求数列{ a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

n

an

 （n∈N^*），求数列{ b_n}的前n项积T_n的值．

已知二次函数f（x）=x²+ax+c，满足不等式f（x）＜0的解集是（-2，0），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）的图象上，且a₁=99，令b_n=lg（1+a_n），
①求证：数列{b_n}为等比数列；
②令c_n=nb_n，数列{c_n}的前n项和为S_n，是否存在正实数k使得不等式kn²b_n＞S_n+b_n+2-2对任意n∈N^*的恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

各项均为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a

2 n+1

-a

2 n

=2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

an2

2n

}的前n项和S_n．