Question

已知正项数列{a_n} 中，a₁=2，log₂a_n+1•（log₂a_n+3）=3log₂a_n（n∈N^*），
（1）求数列{ a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

n

an

 （n∈N^*），求数列{ b_n}的前n项积T_n的值．

Answer 1

分析：（1）令c_n=log₂a_n，由于log₂a_n+1•（log₂a_n+3）=3log₂a_n（n∈N^*），可得c_n+1（c_n+3）=3c_n，变形为

1

cn+1

-

1

cn

=

1

3

．利用等差数列的通项公式可得c_n，进而得到a_n
（2）利用（1）可得b_n=2

3

2

(

1

n

-

1

n+2

)，利用指数幂的运算性质和对指数“裂项求和”即可得出．

解答：解：（1）令c_n=log₂a_n，
∵log₂a_n+1•（log₂a_n+3）=3log₂a_n（n∈N^*），∴c_n+1（c_n+3）=3c_n，
化为

1

cn+1

-

1

cn

=

1

3

．又

1

c1

=

1

log2a1

=

1

log22

=1．
∴数列{

1

cn

}是等差数列，首项为1，公差为

1

3

．
∴

1

cn

=1+

1

3

(n-1)=

n+2

3

，
∴cn=

3

n+2

．
∴log2an=

3

n+2

，
∴an=2

3

n+2

．
（2）∵b_n=

n	an

=2

3

n(n+2)

=2

3

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴T_n=b₁b₂•…•b_n=2

3

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]=2

3

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=21-

3

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．

点评：本题考查了通过变形转化为等差数列、等差数列的通项公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于难题．