题目内容
运行如图所示的程序框图，将输出的a依次记作a1，a2，…，an；输出的b依次记作b1，b2，…bn；输出的S依次记作S1，S2，…，Sn．（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求
| bn+1 |
| an+1 |
| 1+bn |
| an |
（3）求证：(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＜
| 10 |
| 3 |
分析：（1）由题意知：an=2an-1+1，a1=1，从而易得an+1=2（an-1+1），利用等比数列的通项公式可求得数列{an}的通项公式；
（2）由题意，a1=1，b1=1，S1=0，当2≤n≤2014时，Sn=Sn-1+
，bn=an•Sn，而Sn=S1+
+
+…+
，从而可得
=
+
+…+
，
=
+
+…+
+
，于是易求
-
（n∈N*，n≤2014）的值；
（3）由（2）知，知
=
，b1=a1=1，b2=3，a2=3，于是易求
=2（
+
+
+…+
），将所证的关系式转化为证明
+
+…+
+
＜
即可，即证1+
+
+…+
＜
，利用放缩法可证得结论．
（2）由题意，a1=1，b1=1，S1=0，当2≤n≤2014时，Sn=Sn-1+
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
| bn |
| an |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
| bn+1 |
| an+1 |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| an |
| bn+1 |
| an+1 |
| 1+bn |
| an |
（3）由（2）知，知
| 1+bn |
| bn+1 |
| an |
| an+1 |
|
| 1 |
| an |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| an |
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 5 |
| 3 |
解答：解：（1）由题意知：an=2an-1+1，a1=1，
∴an+1=2（an-1+1），
∴an+1=（a1+1）•2n-1=2n，
∴an=2n-1（n∈N*，n≤2014）．
（2）由题意，a1=1，b1=1，S1=0，
当2≤n≤2014时，Sn=Sn-1+
，bn=an•Sn，
此时，Sn=S1+
+
+…+
，
∴bn=an（
+
+…+
），
∴
=
+
+…+
，
∴
=
+
+…+
+
，
∴
-
=
，
∴
-
=0，
当n=1时，
-
=
-
=-1，
综上，
-
=
；
（3）当n=1时，左=1+b1=2，右=
b1=
，
此时，1+b1＜
b1，
当2≤n≤2014时，由（2）知
=
，
又b1=a1=1，b2=3，a2=3，
∴
=
•
•
…
•（1+bn）
=
•
•
…
•（1+bn）
=
•
•（1+bn）
=2•（
+
）
=2（
+
+
+…+
）
即要证明的不等式转化为证明：
+
+…+
+
＜
，
即证明1+
+
+…+
＜
，
又an=2n-1=4•2n-2-1＞3•2n-2（n≥3），
∴1+
+
+…+
＜1+
+
+
+…+
=1+
=1+
（1-
）＜1+
=
．
∴（1+b1）（1+b2）…（1+bn）＜
b1b2…bn．
综上，（1+b1）（1+b2）…（1+bn）＜
b1b2…bn（n∈N*，n≤2014）成立．
∴an+1=2（an-1+1），
∴an+1=（a1+1）•2n-1=2n，
∴an=2n-1（n∈N*，n≤2014）．
（2）由题意，a1=1，b1=1，S1=0，
当2≤n≤2014时，Sn=Sn-1+
| 1 |
| an-1 |
此时，Sn=S1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
∴bn=an（
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
∴
| bn |
| an |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
∴
| bn+1 |
| an+1 |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| an |
∴
| bn+1 |
| an+1 |
| bn |
| an |
| 1 |
| an |
∴
| bn+1 |
| an+1 |
| 1+bn |
| an |
当n=1时，
| b2 |
| a2 |
| 1+b1 |
| a1 |
| 3 |
| 3 |
| 1+1 |
| 1 |
综上，
| bn+1 |
| an+1 |
| 1+bn |
| an |
|
（3）当n=1时，左=1+b1=2，右=
| 10 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
此时，1+b1＜
| 10 |
| 3 |
当2≤n≤2014时，由（2）知
| 1+bn |
| bn+1 |
| an |
| an+1 |
又b1=a1=1，b2=3，a2=3，
∴
|
=
| 1+b1 |
| b1b2 |
| 1+b2 |
| b3 |
| 1+b3 |
| b4 |
| 1+bn-1 |
| bn |
=
| 2 |
| 3 |
| a2 |
| a3 |
| a3 |
| a4 |
| an-1 |
| an |
=
| 2 |
| 3 |
| a2 |
| an |
=2•（
| 1 |
| an |
| bn |
| an |
=2（
| 1 |
| an |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
即要证明的不等式转化为证明：
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| an |
| 5 |
| 3 |
即证明1+
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 5 |
| 3 |
又an=2n-1=4•2n-2-1＞3•2n-2（n≥3），
∴1+
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3•2 |
| 1 |
| 3•22 |
| 1 |
| 3•2n-2 |
=1+
| ||||
1-
|
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∴（1+b1）（1+b2）…（1+bn）＜
| 10 |
| 3 |
综上，（1+b1）（1+b2）…（1+bn）＜
| 10 |
| 3 |
点评：本题考查数列的求和，着重考查数列的递推式的应用，考查程序框图的理解与应用，突出等价转化思想与抽象思维能力的考查，属于难题．
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