已知椭圆的离心率，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
 （1）求椭圆的方程；
 （2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-a，0），点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且，求y₀的值。

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(+1)。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程；
(Ⅱ)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂=1；
(Ⅲ)是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

已知双曲线的左、右顶点分别为A₁、A₂，点P(x₁，y₁)，Q(x₁，-y₁)是双曲线上不同的两个动点，
(Ⅰ)求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程；
(Ⅱ)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个交点，且l₁⊥l₂，求h的值。

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。
 （1）求椭圆C的标准方程；
 （2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

已知椭圆长轴端点为A、B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰好为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

设椭圆C₁：（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图，若抛物线C₂：y=x²-1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点。

如图，在由圆O：x²+y²=1和椭圆C：构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于A、B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．

已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得弦长L的取值范围．

已知椭圆C：的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6，
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y=kx-2与椭圆C交于A、B两点，点P(0，1)，且|PA|=|PB|，求直线l的方程。