Question

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(+1)。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程；
(Ⅱ)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂=1；
(Ⅲ)是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，
所以，
又a²=b²+c²，因此b=2，
故椭圆的标准方程为，
由题意设等轴双曲线的标准方程为，
因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2，
因此双曲线的标准方程为。
(Ⅱ)设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
则，
因为点P在双曲线x²-y²=4上，所以x₀²-y₀²=4，
因此，即k₁k₂=1。
(Ⅲ)由于PF₁的方程为y=k₁(x+2)，
将其代入椭圆方程得，
由韦达定理得，
所以
，
同理可得，
则，
又k₁k₂=1，
所以，
故|AB|+|CD|=|AB|·|CD|，
因此，存在λ=，使|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立．