Question

已知双曲线的左、右顶点分别为A₁、A₂，点P(x₁，y₁)，Q(x₁，-y₁)是双曲线上不同的两个动点，
(Ⅰ)求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程；
(Ⅱ)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个交点，且l₁⊥l₂，求h的值。

Answer 1

解：(Ⅰ)由题设知，
则有直线A₁P的方程为，①
直线A₂Q的方程为，②
联立①②解得交点坐标为，
即，③
则x≠0，|x|＜，
而点P(x₁，y₁)在双曲线上，
∴，
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为且x≠±。
(Ⅱ)设过点H(0，h)的直线为y=kx+h（h＞1），
联立，得，
令得，
解得，
由于l₁⊥l₂，则，故h=，
过点A₁，A₂分别引直线l₁，l₂通过y轴上的点H（0，h)，且使l₁⊥l₂，
因此A₁H⊥A₂H，由，得h=，
此时，l₁，l₂的方程分别为y=x+与y=-x+，
它们与轨迹E分别仅有一个交点与，
所以，符合条件的h的值为或。