Question

已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得弦长L的取值范围．

Answer 1

解：(1)由x+ky-3=0，得（x-3）+ky=0，所以直线过定点(3，0)，即F(3，0)，
设椭圆C的方程为，
则，解得，
所以椭圆C的方程为。
(2)因为点P(m，n)在椭圆C上运动，所以，
从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离为，
所以直线l与圆O恒相交，
又直线l被圆O截得的弦长为
，
由于0≤m²≤25，所以，则L∈，
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是。