已知S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=λa_n-1（其中λ为常数）
（1）是否存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．
（2）当λ=2时，若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n，且b1=

3

2

，令c_n=2b_n+n．求数列{c_n}的前n项和T_n．

若数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1），且c_n=

an•bn

n

，求数列{c_n}的通项公式及其前n项和T_n．

设全集为R，集合A={x|x≤-3，或x≥6}，B={x|2＜x＜7}．
（1）求A∪B，（∁_RA）∩B；
（2）设C={x|m-3≤x≤3m-2}，若B⊆C，求实数m的取值范围．

已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（1）求证：当a＞0时，对任意x₁，x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]；
（2）如果对任意x∈[0，1]都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

根据空气质量指数AQI（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：

AQI（数值）	0～50	51～100	101～150	151～200	201～300	＞300
空气质量级别	一级	二级	三级	四级	五级	六级
空气质量类别	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染
空气质量类别颜色	绿色	黄色	橙色	红色	紫色	褐红色

某市2013年10月1日-10月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如图的条形图：
（1）估计该城市本月（按30天计）空气质量类别为中度污染的概率；
（2）在上述30个监测数据中任取2个，设ξ为空气质量类别颜色为紫色的天数，求ξ的分布列．

（1）若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，求实数k的取值范围．
（2）由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，求动点P的轨迹方程．

已知函数f1(x)=3|x-t1|，f2(x)=2•3|x-t2|（x∈R，t₁，t₂为常数），函数f（x）定义为：对每一个给定的实数x，f(x)=

f1(x) f1(x)≤f2(x) f2(x) f1(x)＞f2(x)

，
（1）求证：当t₁，t₂满足条件|t1-t2|≤lo

g

2

3时，对于x∈R，f（x）=f₁（x）；
（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且t₁，t₂∈（a，b），若f（a）=f（b），求函数f（x）在区间[a，b]上的单调递增区间的长度之和．（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）

已知定点A(-

3

，0)，B(

3

，0)，动点P（x，y）满足：||AP|-|BP||=2；
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）直线mx-y+1=0与动点P的轨迹只有一个交点，求实数m的值．

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N₊，有4a_n-3S_n=

1

3

（2²ⁿ⁺¹+1），
（1）求{

an

4n

}的通项公式；
（2）求数列{

an

2n-2

}的前n项和T_n．

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），且点M（1，e）和N(e，

3

2

)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）是否存在直线l同时与椭圆C₁和抛物线C2：y2=4x都相切？若存在，求出该直线l的方程；若不存在，说明理由．