Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=λa_n-1（其中λ为常数）
（1）是否存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．
（2）当λ=2时，若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n，且b1=

3

2

，令c_n=2b_n+n．求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据S_n=λa_n-1求出前3项，然后根据数列{a_n}是等差数列必有2a₂=a₁+a₃，最后可判定是否存在；
（2）根据递推关系确定数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，然后利用利用累加法求出数列{b_n}的通项公式，从而求出数列{c_n}的通项，最后利用分组求和法进行求解即可．

解答： 解：（1）∵S_n=λa_n-1，∴a₁=λa₁-1，∴a1=

1

λ-1

，λ≠1
依次求a2=

λ

(λ-1)2

，a3=

λ2

(λ-1)3

，
∴若使得数列{a_n}是等差数列，必有2a₂=a₁+a₃，带入得0=1，
故不存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列；
（2）当λ=2时，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1（n≥2），且a₁=1，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），而a₁=1≠0，故a_n≠0（n∈N*），
∴

an

an-1

=2(n≥2)，
即数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，故an=2n-1（n∈N*），
∵b_n+1=a_n+b_n，利用累加法可得bn=

2n+1

2

（n≥2）且b1=

3

2

，
∴bn=

2n+1

2

（n∈N*），cn=2bn+n=2n+1+n，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n

=(2+22+…+2n)+n+(1+2+…+n) =2n+1+ 1 2 n2+ 3 2 n-2

点评：本题主要考查了等差数列的判定，以及累加法求通项公式和分组求和法，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．