Question

已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（1）求证：当a＞0时，对任意x₁，x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]；
（2）如果对任意x∈[0，1]都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用作差法即可证明不等式f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立．
（2）根据二次函数的图象和性质求函数的最值即可求实数a的范围．

解答： 解：（1）对任意x₁，x₂∈R，∵a＞0，
∴[f（x₁）+f （x₂）]-2 f（

x1+x2

2

)=a

x

2 1

+x1+a

x

2 2

+x2-2[a（

x1+x2

2

)2+

x1+x2

2

）]
=ax_2+a

x

2 2

-

1

2

a(

x

2 1

+

x

2 2

+2x1x 2)=

1

2

a(x1-x2)2≥0．
∴f（

x1+x2

2

)≤

1

2

[f （x₁）+f（x₂）]
（2）由|f（x）|≤1?-1≤f（x）≤1?-1≤ax²+x≤1．（*）
当x=0时，a∈R；当x∈（0，1]时，（*），
即

ax2≥-x-1 ax2≤-x+1恒成立

即

a≥- 1 x2 - 1 x =-( 1 x + 1 2 )2+ 1 4 a≤ 1 x2 - 1 x =( 1 x - 1 2 )2- 1 4 恒成立.

，
∵x∈（0，1]，∴

1

x

≥1．
∴当

1

x

=1时，-（

1

x

+

1

2

）²+

1

4

，取得最大值是-2；
当

1

x

=1时，（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

取得最小值是0．
∴-2≤a≤0，结合a≠0，得-2≤a＜0．
综上，a的范围是[-2，0）

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用作差法进行不等式的证明，考查学生的运算能力．