Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N₊，有4a_n-3S_n=

1

3

（2²ⁿ⁺¹+1），
（1）求{

an

4n

}的通项公式；
（2）求数列{

an

2n-2

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）讨论n=1与n≥2两种情况，利用递推作差得到数列{

an

4n

}是首项为

3

4

，公差为

1

2

的等差数列，从而求出通项公式；
（2）由（1）得数列{

an

2n-2

}的通项公式，然后根据通项公式的特点可知利用错位相消法进行求和即可．

解答： 解：（1）当n=1时，4a₁-3S₁=

1

3

（2³+1），得a₁=3，
当n≥2时，
由4a_n-3S_n=

1

3

（2²ⁿ⁺¹+1），①
得4a_n-1-3S_n-1=

1

3

（2^2n-1+1），②
①-②得4a_n-4a_n-1-3a_n=2^2n-1，
即a_n=4a_n-1+2^2n-1，化为

an

4n

=

an-1

4n-1

+

1

2

，
∴数列{

an

4n

}是以

3

4

为首项，以

1

2

为公差的等差数列，

an

4n

=

3

4

+（n-1）×

1

2

=

n

2

+

1

4

，
即

an

4n

=

n

2

+

1

4

；
（2）由（1）得：

an

2n-2

=（2n+1）2ⁿ，
∴T_n=3•2+5•2²+…+（2n+1）2ⁿ，③
2T_n=3•2²+5•2³+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹，④
③-④得-T_n=6+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）2ⁿ⁺¹，
∴Tn=(2n-1)•2n+1+2．

点评：本题考查了数列的递推公式，求数列的通项公式，求数列的和．解题时要注意观察所给表达式的特点，根据式子的特点判断选用何种方法进行解题．本题求通项公式选用了构造新数列的方法求解，求和时选用了错位相减法，要注意错位相减法适用于一个等差数列乘以一个等比数列的形式．属于中档题．