Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），且点M（1，e）和N(e，

3

2

)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）是否存在直线l同时与椭圆C₁和抛物线C2：y2=4x都相切？若存在，求出该直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由点（1，e）在椭圆上，求出b，由点(e ，  

3

2

)在椭圆上，求出a，即可求出椭圆C₁的方程；
（2）假设这样的直线l存在，设出直线方程，利用直线与椭圆，直线与抛物线相切，建立方程组，即可求得结论．

解答： 解：（1）由题设知，a2=b2+c2，e=

c

a

，
由点（1，e）在椭圆上，得

12

a2

+

e2

b2

=1⇒

1

a2

+

c2

a2b2

=1⇒b2+c2=a2b2⇒a2=a2b2⇒b2=1，…（2分）
∴c²=a²-1，
由点(e ，  

3

2

)在椭圆上，得

e2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1⇒

c2

a4

+

( 3 2 )2

1

=1⇒

a2-1

a4

+

3

4

=1⇒a4-4a2+4=0⇒a2=2…（4分）
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1…（5分）
（2）假设这样的直线l存在，
直线l的斜率显然存在，不妨设直线l的方程为y=kx+m，…（6分）
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
因为直线l与椭圆C₁相切，所以△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，
整理得2k²-m²+1=0①…（8分）
由

y2=4x y=kx+m

，消去y并整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0．
因为直线l与抛物线C₂相切，所以△=（2km-4）²-4k²m²=0，
整理得km=1②…（10分）
综合①②，解得

k= 2 2 m= 2

或

k=- 2 2 m=- 2

．                  …（12分）
所以直线l的方程为y=

2

2

x+

2

或y=-

2

2

x-

2

…（14分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．