Question

已知定点A(-

3

，0)，B(

3

，0)，动点P（x，y）满足：||AP|-|BP||=2；
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）直线mx-y+1=0与动点P的轨迹只有一个交点，求实数m的值．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用双曲线的定义，可得动点P的轨迹方程；
（2）直线方程代入双曲线方程，根据直线mx-y+1=0与动点P的轨迹只有一个交点，分类讨论，即可求实数m的值．

解答： 解：（1）∵定点A(-

3

，0)，B(

3

，0)，动点P（x，y）满足：||AP|-|BP||=2，
∴||AP|-|BP||=2＜|AB|=2

3

，
∴动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线，且a=1，c=

3

，
∴b=

c2-a2

=

2

，
∴动点P的轨迹方程是x2-

y2

2

=1；
（2）由mx-y+1=0可得y=mx+1，
代入x2-

y2

2

=1，可得x2-

(mx+1)2

2

=1，
即（2-m²）x²-2mx-3=0．
①2-m²=0，即m=±

2

时，方程只有一个解，满足题意；
②2-m²≠0时，△=4m²+12（2-m²）=0，解得m=±

3

，
综上所述，m=m=±

2

或m=±

3

．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．