如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁．
（Ⅰ） 求证：AB₁⊥平面A₁BC₁；
（Ⅱ） 若D为B₁C₁的中点，求AD与平面A₁BC₁所成的角．

已知集合A={x|x²-2x-3≤0，x∈R}，B={x|m-1≤x≤m+2}．
（1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值；
（2）若A⊆∁_RB，求实数m的取值范围．

已知函数f（x）=（a²+8）e^x，函数g（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x．
（1）若a=0，求g（x）的单调递增区间；
（2）若a＞0，且存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|_min＜3，求实数a的取值范围．

已知sin(

π

8

+

α

2

)cos(

π

8

+

α

2

)=

3

4

，α∈(

π

4

，

π

2

)，cos(β-

π

4

)=

3

5

，β∈(

π

2

，π)．
（Ⅰ）求cos(α+

π

4

)的值；
（Ⅱ）求cos（α+β）的值．

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|，
（1）求函数f（x）的值域；
（2）解不等式f（x）≥x²-8x+15．

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，M∈C，以M为圆心的圆M与l，相切于点Q，Q的纵坐标为

3

p，E（5，0）是圆M与x轴除F外的另一个交点
（Ⅰ）求抛物线C与圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线n：y=k（x-1）（k＞0），n与C交于A，B两点，n与l交于点D，且|FA|=|FD|，求△ABQ的面积．

已知四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，ABCD是正方形，且PA=AB=2，E，F分别是棱PD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面AEF；
（Ⅱ）求直线PC与平面AEF所成角的正弦值．

以点F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆C经过点（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过P点分别以k₁、-k₁、k₂、-k₂（k₁k₂≠0，k₁≠k₂）为斜率的直线分别交椭圆C于A，B，M，N，求证：?λ∈R，使得

AB

=λ

MN

．

已知向量

a

=（sinx+cosx，2），

b

=（1，sinxcosx），设f（x）=

a

•

b

，x∈[0，

π

2

]，求f（x）的值域．

已知函数f（x）=Asin（ωx+Φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜Φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）的解析式及单调增区间；
（2）当x∈[0，

π

12

]时，求f（x）的值域．