Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，M∈C，以M为圆心的圆M与l，相切于点Q，Q的纵坐标为

3

p，E（5，0）是圆M与x轴除F外的另一个交点
（Ⅰ）求抛物线C与圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线n：y=k（x-1）（k＞0），n与C交于A，B两点，n与l交于点D，且|FA|=|FD|，求△ABQ的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,圆的标准方程,抛物线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由抛物线的定义，结合M∈C，确定M的坐标，根据M是线段EF垂直平分线上的点，建立方程，即可求抛物线C与圆M的方程：
（Ⅱ）根据|FA|=|FD|，求出直线n的方程，与抛物线方程联立，求出A，B的坐标，进而求出|AB|，Q到直线n的距离，即可求△ABQ的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由抛物线的定义知，圆M经过焦点F（

p

2

，0），Q（-

p

2

，

3

p），点M的纵坐标为

3

p，
∵M∈C，∴M（

3

2

p，

3

p），|MF|=2p，
由题意，M是线段EF垂直平分线上的点，
∴

3

2

p=

p 2 +5

2

，
∴p=2，
∴抛物线C：y²=4x，圆M的方程：(x-3)2+(y-2

3

)2=16；
（Ⅱ）由

y=k(x-1) x=-1

，可得y=-2k，∴D（-1，-2）．
直线n：y=k（x-1）代入抛物线方程，整理可得ky²-4y-4k=0（k＞0），
∴y=

2±2 1+k2

k

，
∵|FA|=|FD|，∴

2+2 1+k2

k

=2k，
∴k=

3

，
∴A（3，2

3

），B（

1

3

，

2 3

3

），直线n：y=

3

（x-1），Q（-1，2

3

），
则|AB|=

16

3

，Q到直线n的距离为d=2

3

，
∴△ABQ的面积S=

1

2

|AB|d=

16 3

3

．

点评：本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．