Question

已知sin(

π

8

+

α

2

)cos(

π

8

+

α

2

)=

3

4

，α∈(

π

4

，

π

2

)，cos(β-

π

4

)=

3

5

，β∈(

π

2

，π)．
（Ⅰ）求cos(α+

π

4

)的值；
（Ⅱ）求cos（α+β）的值．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值,两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用同角三角函数间的关系及角的范围，可求得cos（

π

4

+α）的值；
（Ⅱ）cos（β-

π

4

）=

3

5

，β-

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），可求得sin（β-

π

4

）=

4

5

；利用两角和的余弦即可求得cos（α+β）的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题知：

1

2

sin（

π

4

+α）=

3

4

，
∴cos（

π

4

+α）=±

1

2

；
∵α∈（

π

4

，

π

2

），
∴

π

4

+α∈（

π

2

，

3π

4

），
∴cos（

π

4

+α）=-

1

2

；
（Ⅱ）∵cos（β-

π

4

）=

3

5

，
∴sin（β-

π

4

）=±

4

5

，又β∈（

π

2

，π），
故β-

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴sin（β-

π

4

）=

4

5

，
cos（α+β）=cos[（

π

4

+α）+（β-

π

4

）]
=cos（

π

4

+α）cos（β-

π

4

）-sin（

π

4

+α）sin（β-

π

4

）
=-

1

2

×

3

5

-

3

2

×4
=-

4 3 +3

10

．

点评：本题考查同角三角函数间的关系，考查两角和与差的余弦函数，考查综合运算求解能力，属于中档题．