Question

已知函数f（x）=（a²+8）e^x，函数g（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x．
（1）若a=0，求g（x）的单调递增区间；
（2）若a＞0，且存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|_min＜3，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的单调性及单调区间,函数的最值及其几何意义

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导函数，利用导数和单调性的关系即可求出函数单调增区间；
（2）分别求出f_min（x）与g_max（x），再将问题等价转化为：若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜3，只要f_min（x）-g_max（x）＜3即可，从而解不等式，即可求出a的取值范围．

解答： 解：（1）若a=0，则g（x）=（x²-3）e^3-x．
则g'（x）=2xe^3-x-（x²-3）e^3-x=（-x²+2x+3）e^3-x．
由g'（x）=（-x²+2x+3）e^3-x≥0，
得-x²+2x+3≥0，解得-1≤x≤3，
即g（x）的单调递增区间为[-1，3]；
（2）g'（x）=-[x²+（a-2）x-3a-3]e^3-x=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
∵a＞0，∴-（a+1）＜0
∴当x∈[0，3]时g（x）单调递增，
当x∈[3，4]时，g（x）单调递减，
∴当x∈[0，4]时，g_max（x）=g（3）=a+6，
∵f（x）=（a²+8）e^x在x∈[0，4]时是增函数，f_min（x）=f（0）=a²+8，
又∵a²+8-（a+6）=a²-a+2=（a-

1

2

） 2+

7

4

＞0，
∴f_min（x）＞g_max（x），
∴当x∈[0，4]时，f（x）＞g（x）恒成立．
∴若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜3
只要f_min（x）-g_max（x）＜3即可，
即a²+8-（a+6）＜3，
∴a²-a-1＜0，
解

1- 5

2

＜a＜

1+ 5

2

，
∵a＞0，
∴0＜a＜

1+ 5

2

，
即a的取值范围为：0＜a＜

1+ 5

2

．

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想，综合性较强，运算量较大．