Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁．
（Ⅰ） 求证：AB₁⊥平面A₁BC₁；
（Ⅱ） 若D为B₁C₁的中点，求AD与平面A₁BC₁所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题意先推导出A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，从而得到A₁C₁⊥AB₁，由此能够证明AB₁⊥平面A₁BC₁．
（Ⅱ） 设AB₁与A₁B相交于点O，由题设条件推导出AD与C₁O的交点为重心G，连接OG，能推导出∠AGO是AD与平面A₁BC₁所成的角，由此能求出AD与平面A₁BC₁所成的角的大小．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知四边形AA₁B₁B是正方形，
∴AB₁⊥BA₁．
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥A₁C₁．
又∵A₁C₁⊥A₁B₁，∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
∴A₁C₁⊥AB₁．
∴AB₁⊥平面A₁BC₁．…（7分）
（Ⅱ） 设AB₁与A₁B相交于点O，则点O是线段AB₁的中点．
连接AC₁，由题意知△AB₁C₁是正三角形．
由AD，C₁O是△AB₁C₁的中线知：AD与C₁O的交点为重心G，连接OG．
由（Ⅰ） 知AB₁⊥平面A₁BC₁，
∴OG是AD在平面A₁BC₁上的射影，
∴∠AGO是AD与平面A₁BC₁所成的角．
在直角△AOG中，
AG=

2

3

AD=

3

3

AB₁=

6

3

AB，AO=

2

2

AB，
∴sin∠AGO=

AO

AG

=

3

2

．
∴∠AGO=60°，
即AD与平面A₁BC₁所成的角为60°．…（15分）

点评：本题主要考查空间线、面位置关系，线面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力．